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mie équation, qui suit de la définition même des combinaisons 
avec répétition. 
n t* 
à* °- 
INous allons voir, comment on pourra procéder pour trou- 
ver une expression immédiate de la somme, que nous avons 
désigné par A r (n,m\ en supposant toujours, que r, n et m 
sont des nombres entiers et n > m. 
De la définition même des 
on déduit 
combinaisons avec 
répétition 
A A r {n , ni) ~ [n -J~ ! ; A r ~' (n -{- i , m) 
d’où 
A r {n, m ) =z= V (« -{- t, (n -|- 1 , m) .... ^21) 
Si Ton fait r — 1 dans cette formule et observe que 
A° (n -f- 1 , m) = 1 , il vient 
A 1 (m, m) “ (w + *)• 
En intégrant cette équation et déterminant la constante 
d’après la remarque, que pour n~ m on doit avoir A r (m, mj 
— m r ; on obtiendra 
y / 1 v n, ru) nz (/i -f- i)., — («i -|- i )jj -j - ,n - 
Si Ton désigne 
combinaisons r a r 
dépuis n jusqu’ a m 
en général par Z» r (n,fw) la somme des 
sans répétition de tous les nombres entiers 
, on pourra écrire l’équation précédente 
