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De l’équation (4) on tire encore, en faisant k rr m 
A r {m,m — i) A''{rn — i, rn — 2) -f- . . . . A r (l, o)nzm r + 1 . . . (7) 
§• 3 . 
En faisant h — 1 dans la formule (4), on a 
\ 
A r (m, m — I) z=z m r + I — (m — i) r + 1 
= { r + l )i mr — i r + *) 2 mr ~ l -i- O’-f *) 3 H ‘ r ' 2 — • • • • 
. . . -f- ( — l) r (r 4“ l)r + 1 m° . . • (8); 
mais de la définition même des quantités que nous avons dé- 
signées par A r (mi, m) suit la relation 
A r m, m — î)z= m r -j- ( m — 1) m r ~ l (m — l) 2 m r ~ 2 -j- • • . 4" ( m — t) r 
d'où, en développant le dernier membre de cette équation, il 
viendra 
A r {m, m — 1) (r -(- 1 ) m r — (i -f- 2 -f- 5 -j- • • • 4“ r ) mr ~ 1 + (2 2 4“ 4~ 
4- 4 2 4- r 2 ) mr ~ 2 (®3 4* ^3 4“ * • • 4* ^*3 ) mr ' 3 4~ • • • • 
. . . 4~ ( — l) r r r m° (9). 
Par comparaison des deux valeurs de A r (m , m — 1), don- 
nées dans les équations (8) et (9), on obtiendra en égalant les 
coëfficiens des mêmes puissances de m la relation suivante 
entre les coëfficiens du binôme 
*n 4- (» 4- *4 4- (» 4- 4- • • • 4- — (>* 4- i4+i » 
dans laquelle nous avons dénoté par n un nombre entier 
< r. 
En vertu de l’équation (8) on a 
