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Cas particuliers. 
On peut se demander si, parmi les solides dérivés dont 
le volume est un k ième dn cube, il y a toujours un solide à 
24 faces, octotrièdre, trapézoèdre ou hexatétraèdre. 
1° Pour que la formule {h) soit celle d’un octotrièdre, il 
faut que les deux premières caractéristiques soient égales. 
k — 4 
En faisant x = 1, elle devient 1. 1. — = 2. 2 . k — 4. 
k - i 
Ainsi l’octotrièdre A 2 est le k lème du cube primitif. 
Le problème n’est possible que si le > 4, mais, si cette 
condition est remplie, il est toujours possible. Ainsi : 
a II est toujours possible de trouver un octotrièdre 
„ dont le volume soit le k lème du cube, k étant un nombre 
„ commensurable compris entre 4 et 6. „ 
2° Pour que la formule (b) soit celle d’un trapézoèdre, il 
faut que 
k — (1 -j- x)‘ 
= X , OU X 
l 8 k 
On 
1 -f- X ~ 7 4 
voit qu’en général le problème est impossible ; il n’est 
possible que si 8 k -f 1 est un carré parfait. Ainsi : 
u II n’est possible de trouver un trapézoèdre dont le 
„ volume soit le k' è,ne du cube primitif, le étant un nom- 
„ bre commensurable compris entre 1 et 6, que si 8 k -f 1 
„ est un carré parfait. „ 
Exemple. Pour le = 3, x 
-- 211 = 
4 et le solide devient 1.4.4 
2 2 2 
3° Pour que la formule (b) soit celle d’un hexatétraèdre, 
il faut que la dernière caractéristique s’annule, c'est-à- 
dire que : x = \/ k — 1 . 
Pour que le problème soit possible, il faut que k soit un 
carré parfait et que x < I, ou \/ k — 1 c, 1, ou k < 4. 
Ainsi : 
