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Comme les différentes faces de la même forme diffèrent 
en ce que m 1 n et p sont permutées entre elles, la valeur 
de P sera la même pour toutes ces faces. 
Théorème II. 
u Le volume d’un solide quelconque du système cubi- 
„ que égale sa surface multipliée par le tiers de la per- 
„ pendiculaire menée du centre sur une de ses faces. „ 
En effet, en joignant le centre à tous les sommets du 
solide dérivé, on le décompose en autant de pyramides 
équivalentes qu’il y a de faces, et, comme chaque pyra- 
mide égale sa base multipliée par ^ P, le volume total 
sera Y = surface totale X — P. 
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Calcul de la surface. 
D’après ce qui précède, on a : 
S a 
-r -j 
= T X j/m 2 4- w 2 + p* 
Pour identifier le solide à celui qui provient d’un cube 
de côté b, nous avons vu q u’il fallait faire : — = En rem- 
1 m 2 
plaçant, il vient : 
6 Y 
b = —, — |/ m~ 4- ri 2 -f- p' 2 . 
bm 1 
En remplaçant Y par sa valeur (a), on obtient : 
S = 4X4! + ÜL ±ÉL . fi JA 
(■ m p n) (m + n -\-p) 
En comparant cette formule à celle du volume on voit 
que, tandis que le volume de tout solide dérivé est com- 
mensurable avec celui du cube primitif, sa surface n’est 
commensurable avec celle du primitif que si m 2 -\-n 2 h p 2 
est un carré parfait. 
