6 
4. Sestrojení zobecněného cylindroidu. Dvé význačné involuce přímek 
na ném. 
Našemu zobecněnému cylindroidu P 4 náleží též páry přímek m, m '; 
n, rí\ že jsou konjugovány vzhledem ku 9l 2 , plyne z předpokladu, mimo 
to pak prvý pár jest párem konj. polár vzhledem ku speciálnímu line¬ 
árnímu komplexu našeho svazku o řídicí přímce m, druhý pak ku speci¬ 
álnímu lineárnímu komplexu o řídicí přímce n. 
Přistupme nyní ku konstrukci naší plochy. Budte p, q opět spo¬ 
lečné transversály čtyř přímek m, n, m’, n', Vytkněme si libovolnou 
přímku l lineární kongruence \m, n\ bud V konj. polára této přímky vzhle¬ 
dem ku 2l 2 . Sestrojíme-li pak společné transversály r, s čtyř mimoběžek 
l, V, p, q, máme již dvě povrchové přímky naší plochy. To jest dokázatň 
Že r, s jsou konj. polárami 2l 2 , jest patrno z toho, že jsou společnými 
transversálami dvou párů konj. polár plochy 2l 2 . Aby bylo patrno, že r, s 
jsou skutečně zobecněným párem osovým nějakého komplexu našeho 
svazku komplexového, zbývá dokázati, že čtyři přímky m, n, r, s leží 
na hyperboloidu. To však lze nahlédnout! z toho, že tyto čtyři přímky 
protínají vesměs tři přímky p, q, l, čili, že jsou obsaženy v druhém sy¬ 
stému přímek hyperboloidu (p, q, l). 
Ježto přímka l může nabýti oo 2 různých poloh v lineární kongruenci 
[m, n], zdálo by se, že tímto způsobem dospějeme ku oo 2 párům přímek r, s, 
avšak ku oo 1 polohám přímky l v prvním systému hyperboloidu (p, q, l) 
přísluší týž pár přímek r, s. Existuje tedy oo 1 párů r , s jež vyplňují zobec¬ 
něný cylindroid P 4 . 
Jelikož každý pár r, s s pevným párem přímek m, n leží na hyper¬ 
boloidu, tu tvoří, jak z theorie ploch stupně čtvrtého o dvou dvojných 
přímkách známo [Sturm: Liniengeometrie III., pag. 106], tyto páry 
involuci na P 4 , která má však čtyři samodružné elementy, ježto plocha P 4 
jest nositelem rodu 1. S každou takovou involuci, jak známo, existuje 
,,spojená involuce", totiž souhrn párů přímek na ploše, které s kterýmkoli 
pevným párem přímek původní involuce tvoří hyperboloidickou čtveřinu 
přímek. Tak ku kterémukoli pevnému páru involuce přímek r , s existuje 
spojená involuce, které přísluší patrně páry m, n\ m r , n' ; tuto involuci 
nazveme první význačnou involuci na zobecněném cylindroidu, 
involuci pak s touto první involuci spojenou, totiž involuci přímek r, s, 
ku které náleží též zejména páry m, m' ; n n' nazveme diuhou význač¬ 
nou involuci na zobecněném cylindroidu. Páry této druhé vý¬ 
značné involuce jsou zároveň páry konjugovaných polál plochy 5l 2 . Z toho 
ihned plyne, že samodružné čtyři přímky této involuce leží na ploše 
a že tyto čtyři přímky jsou částí proniku zobecněného cylindroidu s abso¬ 
lutní plochou. 
U Plůckerova konoidu tvoří patrně první involuci páry přímek od 
středu konoidu stejně vzdálených a ležících v rovinách osou konoidu pro¬ 
ložených, které svírají stejné úhly s oběma přímkami konoidu středem 
XII, 
