12 
vého (S a) určité paprsky svazku [S r ď) jako konj. poláry vzhledem ku 
ploše 2l 2 . Máme tedy v (S' ď) dva kollokální projektivně svazky paprskové, 
jejich dva samodružné paprsky rí, v' odpovídají dvěma paprskům u, v 
ve svazku (S g). Páry konj. polár u, rí ; v, v' jsou pak vždy dvěma kom- 
plexovými paprsky jednoho každého z dvou vzhledem ku W polárně in¬ 
variantních komplexů svazku komplexového S v čímž jest jejich existence 
dokázána. 
Lze snadno nahlédnouti, že každý z těchto dvou polárně invariant¬ 
ních lineárních komplexů jest stanoven přímkami m, n jako svými konj. 
polárami a vždy přímkami jednoho systému z obou systémů přímkových 
na W 1 jako přímkami komplexovými. Avšak, jak jsme ukázali v odstavci 2., 
má každý vzhledem ku absolutní ploše polárně invariantní lineární kom¬ 
plex oo 2 zobecněných párů osových, které vyplňují lineární kongruenci 
přímkovou, jejímiž řídicími přímkami jsou samodružné přímky involuce 
konj. polár komplexu, kterou tento v jednom systému přímek 2t 2 indukuje. 
Jsou to patrně obě komplexové přímky v tomto systému. V případě našem, 
vezmeme-li v úvahu oba polárně invariatnní komplexy svazku, jsou to 
protější strany prostorového čtyřúhelníka, který přímky lineární kon- 
gruence [m, ri\ z plochy 9t 2 vytínají. Můžeme pak vysloviti větu: 
Geometrické místo párů konj. polár dané plochy 2. stup¬ 
ně 5l 2 , které s určitým párem m, n konjugovaných polár této 
plochy tvoří hyperboloidickou čtveřinu přímek, jsou páry 
přímek dvou lineárních kongruenci. Řídicími přímkami 
těchto kongruenci jsou vždy dvě protější strany prostoro¬ 
vého čtyřúhelníka, který přímky kongruence \m, n\ z W vy¬ 
tínají. 
Geometrické místo toto můžeme považovati za geo¬ 
metrické místo zobecněných párů osových zobecněného 
vazku souosých lineárních komplexů. 
Případ druhý. 
V druhém našem případě speciálním tvoří m, n hyperboloidickou 
čtveřinu se svými konj. polárami m', rí vzhledem ku 2l 2 . Mysleme si 
čtyřmi přímkami m, n, m' , rí proložený hyperboloid P 2 , hyperboloid ten 
jest patrně vzhledem ku 9l 2 polárně invariantním. Páry pak involuce 
konj. polár plochy 5l 2 , kterou tato indukuje v jeho systému (m, n, m' , rí) 
jsou patrně zobecněnými páry osovými jednotlivých lineárních kom¬ 
plexů svazku S 1 a lze tudíž hyperboloid P 2 pokládati za speciální případ 
zobecněného cylindroidu P 4 . Zmíněná involuce konj. polár zastupuje 
zde druhou význačnou involuci na P 4 . 
Zbývá ještě dokázati, že každá přímka l v prostoru, která se svou 
vzhledem ku $l 2 konj. polárou a s přímkami m , n, tvoří hyperboloidickou 
čtveřinu, leží na P 2 . Čili jest nám dokázati, že šest přímek: m , m', n, rí, 
XII. 
