14 
Případ čtvrtý. 
Uvažujme posléze případ, kdy obě přímky m, n náleží ploše W. 
Označme si systém přímek plochy W, ku kterému přímky m, n náleží 
jakožto první systém přímek této plochy. V tomto případě jsou všecky 
lineární komplexy komplexového svazku 5 X ku W polárně invariantními. 
To jest patrno z toho, že libovolný komplex P svazku S x obsahuje jeden 
polárně invariantní pár polár, to jest pár polál m, n, a potom dvě polárně 
invariantní komplexové přímky u, v, totiž dvě přímky, které má komplex T 
s prvním systémem přímek plochy W společné. A ku polární invarianci 
určitého lineárního komplexu stačí polární invariance jeho lineární kon¬ 
gruence a jedné přímky komplexové, čemuž v případě daném jest vyho¬ 
věno. Proběhne-li komplex T všemi komplexy o základní kongruenci 
\m,n], tu pár přímek u, v proběhne všemi oo 1 polohami párů přímek oby¬ 
čejné involuce v prvním systému plochy 9l 2 , jejímiž samodružnými přím¬ 
kami jsou přímky m, n. 
Dle věty, kterou jsme vyslovili v odst. 2. o zobecněných párech 
•osových lineárních komplexů vzhledem ku absolutní ploše polárně invari¬ 
antních, vidíme, že geometrické místo zobecněných osových párů našeho 
libovolného komplexu T ve svazku lineárních komplexů S v jest lineární 
kongruence o řídicích přímkách u, v. Zobecněné páry osové pak všech 
komplexů svazku S v vyplňují přímky všech oo 1 lineárních kongruenci, 
jejichž řídícími přímkami jsou jednotlivé páiy u, v, involuce v prvém 
přímkovém systému plochy 5P o přímkách m, n jako přímkách samo- 
družných. Pak dle známého Chas^es-ova vytvoření lineárního komplexu 
jakožto souhrnu všech přímek, které protínají vždy dvě přímky plochy 
2. stupně, které si jsou v libovolné involuci na ploše přidruženy, vidíme, 
že přímky všech oo 1 lineárních kongruenci \u, v] vyplňují lineární kom¬ 
plex. Přicházíme zároveň k nové definici lineárního komplexu a výsledek 
našich úvah můžeme vysloví ti větou: 
Geometrické místo konj. polár plochy 2Í 2 , které tvoří 
es dvěma přímkami m, n této plochy hyperboloidickou čtve- 
řinu přímek, jest komplex lineární. Kterýkoli pár involuce 
přímek na 5l 2 , jejímiž samodružnými přímkami jsou přímky 
m, n, jest párem konjugovaných polár komplexu. 
Lineární komplex tento lze pokládati za geometrické 
místo zobecněných párů osových lineárních komplexů svazku 
o základní kongruenci \m, ri\, považujeme-li 2l 2 za plochu 
absolutní. 
8. Zobecněný cylindroid pro absolutní plochu degenerovanou. 
Budte m, n opět řídicími přímkami základní kongruence komplexo¬ 
vého svazku našeho S v Budiž a 2 kuželosečkou absolutní, ve kterou de¬ 
generuje absolutní plocha 5l 2 , bud dále it rovina, ve které leží a 2 . Konjugo- 
XII. 
