2 
periodická, zlomku periodickému. Jako tento lze vyjádřit tvarem zakon¬ 
čeným, tak i rovnice, které dávají řadu periodickou, lze zakončené integrovat 
alespoň co se týče integrálu částečného. 
Můžeme tedy vysloviti theorém, jenž p:i 2 proměnných zůstal as 
nepovšimnut: 
U rovnice diff. lin. obyt. n ho řádu, která dává kaskádní řadu perio¬ 
dickou, lze nalézti alespoň jeden partikulární integrál kvadraturou. 
V následujícím probrán specielně případ i = 1, 2; jiné jsou těžko 
přístupné. 
a) R x ht - R 
2. Určití jest rovnici, která se jedinou kaskádní transformací o 2 in¬ 
variantech reprodukuje. Předpokládejme nejdříve, že funkce transfor¬ 
mační a — 0; tento případ možná totiž snadno řešit pro libovolný řád 
rovnice. Pak dle I. (ičj platí především podmínka 
- z' 
Pi + n— 1 - = p v 
tudíž z = — = const, na př. h = — c n . Vzhledem k tomuto výsledku 
platí dle téhož vzorce (R-j) další podmínky 
P 2 Pa — p2> 
Ps — p2 + Pa" — Ps> 
p *-l — p'n -2 +... + (— 1) ”- 2 PS~* = Pr^l , 
~T =P»> 
z nichž soudíme, že koěfficienty p x , p 2 , . . ., p n __ 2 , p n jsou konstantní 
na př. pi = c v p 2 = c 2 , . . ., ^ n _ 2 == Cn— 2 , pn — c n \ poněvadž pak dle I. (4) 
k =~pn+ fn-l 1 ) n p 1 n ~ 1 , 
jest též součinitel p n —i stálý, na př. p n —i = c»_i. Hledaná rovnice, o níž 
platí R 1 = R, jest tudíž o stálých koěfficientech 
y n + Ciy n_L + _ + ^ y =0> (!) 
Abychom našli její řešení (uváděné pouze k vůli souvislosti s ná¬ 
sledujícím), pišme ji dle I. (1) ve tvaru 
yí + c n y =0, y 1 .= y n ~ l + c ± y n ~ 2 .-j- . . . + c n -i y, 
neboť qi = d. Poněvadž se však rovnice transformací reprodukuje, jest y 1 
rovno y až snad na jistou konstantu C. Pro y x — Cy nabudou poslední dvě 
rovnice tvaru 
XIV. 
