6 
Koěfficienty jsou tudíž na b nezávislé a tytéž jako v (3), dosadí- 
me-li ~ místo a. Tudíž rovnice tvaru (1), (3) se reprodukují kaskádní 
transformací o 2 i o 4 invariantech. 
4. Při dvou proměnných probrána v Darbouxových „Surfaces” 
(t. II. p. 31.) podobná úloha a udáno, že rovnice transformací Lapla- 
ceovou se neměnící zní 
W Z 
T-* =°- 
d x o y 
Lze však všeobecněji vysloviti, že nemění se podobnou transformací 
lineární rovnice n ho řádu o m proměnných se stálými koěfficienty. Nejsou-li 
koěfficienty stálé, nelze ovšem pro m ^> 2 ani při n = 2 rovnici takto 
vůbec transformovati. 
Tak na př. pro n — 3, m = 2 lze rovnici psát ve tvaru 
Jjh 
3 x 
3 2 z 
Zi = 
dx* 
+ « 
3 y 
V'z 
dxdy 
b z 1 — h 
3 y 
a 3 2 2 . 3 z 
P d v 2 + y 3 * 
k z = 0, 
■ ^ 
s z , 
Eliminací z 1 obdržíme původní rovnici, vyloučíme-li z, vznikne 
rovnice v z x s původní totožná. 
Z této vlastnosti plyne i integrace těchto rovnic jako při jediné 
proměnné v čl. 2. Dosadíme-li z x =C z, máme soustavu tří rovnic pro 
neznámé z, z lt C. První rovnice dává 
d z 
3 x 
+ ( a ~ 4)Iv + ( b ~ t) z =0 ’ tedy z - emx+ny ’ 
kde m, n je pár kořenů rovnice m -\- (a — ^ s jn J rb^-^-=0, z mz 
C 
plyne 
C = 
h n + k 
m + a n + b ' 
Dáme-li do druhé rovnice hodnoty z 1 =Cz, z =e mx + ny a právě 
stanovenou hodnotu C, obdržíme pro m, n známou karakt. rovnici 3 ho 
stupně; dosazením do z = e mx + ny máme všeobecné řešení z = Z! C e m ^ + n y ^ 
Jest patrné, že totéž platí pro libovolné m, n. 
b) R 2 = R 
5. Nalézti jest rovnici o jediné proměnné, která se reprodukuje, 
transformujeme-li ji kaskádhě dvakrát za sebou. Při dvou proměnných 
XIV. 
