6 
s bodem 13 (na rovině q) přímkou N, bod 2 s bodem 23 přímkou P; 
průsečík (N P) =3 . Spojnice 1, 14; 2, 24 protnou se v bodě 4, spojnice 
1, 15 ; 2, 25 v bodě 5 1 ). Obě kubiky dané body 1 ... 5 a oskulační ro¬ 
vinou q jsou pomyslné. Z toho jde: 
Imaginárná prostorová křivka kubická může míti pět reálných bodův 
a jednu reálnou rovinu oskulační. 
Existuje tedy deset reálných rovin, z nichž každá seče tuto imagi- 
nárnou kubiku Li 3 ve třech bodech reálných; jsou to stěny úplného pěti¬ 
úhelníka 1 ... 5. Křivka Li 3 má deset skutečných bisekant: 12, 13, . . . 
23, . . . 45. 
5. Z mnohých případů speciálních vyjímáme tuto jediný. Dejme 
splynouti vrcholům 2 = 3 na dané přímce T a vrcholům 4 = 5 na dané 
přímce U, mimoběžné k T; přímky tyto jsou tudíž tečnami kubiky Z, 3 
v bodech 2 resp. 4. Mimo to dán bud bod 1 a oskulační rovina q. Pronik 
základního pětiúhelníka s rovinou q redukuje se na tvar v obr. 3. zobrazený 
(kdež q učiněna půdorysnou). Aby však křivka Li 3 byla imaginárnou, 
zvolme místo řečených útvarů v rovině q stopu A roviny ( 1T) =(123), 
na ní stopu b = 12 = 13 hrany 12, stopu B roviny (2 U) = (245), 
a na ní stopu a = 4 5 tečny U. Dále vytkněme vnitř polárného A ab c 
bod d = 14 = 15 jakožto stopu hrany 14 a poláru jeho D vně A ab c, 
načež průsečík JA D) =23 je stopou tečny T, (B D) = 24 = 25 = 34 = 35 
stopou hrany 24. Z tohoto proniku 77, jenž určuje elliptické pole polárné 
a direkční kuželosečku K 2 pomyslnou, odvodíme data v prostoru takto: 
bodem 23 vedme přímku T (viz nárys v obr. 3.) mimo rovinu p, vytkněme 
na ní bod 2 = 3, spojme bod 2 se stopou 12 přímkou E, a týž bod 2 
se stopou 24 přímkou F, vedme bodem d příčku G k mimoběžkám E, F. 
Přímka G seče F v bodě 4 = 5 a přímku E v bodě 1; posléze spojme 
a 4 = U (pětiúhelník 1 ... 5 zobrazen toliko v náryse). Útvary 1 ... 5, q 
určují imaginárnou kubiku Li 3 . Z toho vychází: 
Imaginárná prostorová kubika může míti dvé tečny a oba dotyčné 
body reálné, mimo to ještě jeden bod reálný a jednu oskulační rovinu reálnou. 
6. Duálně k odstavci 2. pěti libovolnými rovinami 7, 77, 777, IV, V, 
z nichž žádné Čtyři neprocházejí týmž bodem, určeno jest oo 2 reálných 
svazků rovinových III. třídy, jež obalují dvojmocnou osnovu rozvinutel- 
ných ploch III. třídy & A m ; vratné pak křivky těchto ploch tvoří osnovu 
křivek kubických Sl L 3 , jež daných pět rovin oskuluje. Roviny tyto šlovou 
základními v osnově a omezují pětistěn. Deset průseČnic základních rovin 
dává hrany, a po třech protínají se roviny v deseti vrcholech úplného pěti- 
stěnu. Každé hraně, na př. 77 777 odpovídá určitý vrchol protější (IIV V). 
1 ) Ježto bod 15 zvolili jsme na přímce a d kdekoli, bodem 12 lze vésti 
v prostoru oo 2 přímek M, a na každé vytknouti body 1 a 2 po libosti, je patrno, 
že táž kuželosečka K 2 v rovině y přísluší oo 5 různým pětiúhelníkům v prostoru. 
Béřeme-li však bod 15 za pevný, jímž určena jest konfigurace /I dokonale, shledá¬ 
váme, že týž pronik II v rovině 9 náleží 00 4 úplným pětiúhelníkům v prostoru. 
XXIV. 
