23 
Naše křivka čtvrtého stupně rozpadá se na křivku prostorovou 
třetího stupně a jednu její dvojnásobnou sečnu, jestliže rovnice čtvrtého 
stupně vzhledem k A, kterou obdržíme, položíme-li hořejší diskriminant 
na roven nule, redukuje se na čtverec jisté rovnice druhého stupně, což 
vyžaduje podmínky 
— e'*d = o, 
© 3 -j- 8 z/ 2 & — 4 z/ & 0 = 0 
a příslušná rovnice druhého stupně jest pak tvaru 
2 d & A 2 + © A + 2 z/' & = 0. 
První ze dvou hořejších podmínek jest identicky vyplněna pro 
kteroukoliv naši křivku čtvrtého stupně; druhá redukuje se po vložení 
příslušných hodnot invaiiantů na podmínky dvojího druhu: bud která¬ 
koliv jedna z hodnot l ik ' = 0, nebo má platnost rovnice / 12 ' l u ' — l 13 ' / 42 '= 0 . 
První případ vede obecně k šesti systémům prostorových křivek třetího 
stupně, které procházejí jen dvěma vrcholy základního tetraedru a protější 
hranu tetraedru dvakrát protínají tvoříce s ní dohromady naši křivku stupně 
čtvrtého. 
Druhý případ l 12 ' / 34 ' — l 13 / 42 ' = 0 má ještě dva další obdobné a sice 
l 12 ' l M ' — / 14 ' / 23 ' = 0, jenž plyne z podmínky 
®' 3 + 8 ď* & — 4 A & O = 0 , 
která vyplývá z obou původních, a případ / 13 ' / 42 ' — / 14 ' hz = 0; který 
obdržíme stejným způsobem jako oba předcházející, vezmeme-li v úvahu 
třetí plochu druhého stupně, která spojuje danou křivkou čtvrtého stupně 
s třetím párem protilehlých hran tetraedru základního; rovnici této plochy 
obdržíme vzájemným odečtením rovnic prvých dvou ploch uvedených 
na str. 11. Tyto druhé podmínky vedou ke třem systémům křivek čtvrtého 
stupně, které se rozpadají ve dvě kuželosečky. 
Abychom první systém degenerovaných křivek obdrželi, musí, 
volíme-li bod x/ libovolně, druhý Xj býti v rovině 
Xi Xk + Xk X{ = 0 , 
která s rovinou 
Xi x^ — Xk Xi = 0. 
jež obsahuje bod x/, odděluje harmonicky stěny základního tetraedru 
%i =0 , Xk = 0. 
Dle toho obdržíme na každé hraně základního tetraedru involuci rovin, 
jejíž jednotlivé páry obsahují páry bodové — obecně jedna rovina jeden 
bod —, které jednotlivé křivky tohoto systému určují. 
Jeden pár přidružených rovin v involuci, jejíž osou jest hrana Aj Ah , 
určuje oo 4 párů bodových, a tedy také právě tolik křivek tohoto systému. 
XXV. 
