25 
Pro rovnici koule E nalezneme (počátek souřadnic V) 
(E) x 2 + y 2 + z 2 — 2 c cos (p (x — z V3) — 2 c y sin cp -(- 4 c 2 cos 2 cp — 0; 
charakteristika leží na rovině 
(E') (x — z V*3) sin (p — y cos cp — 4 c sin (p cos (p . 
Tyto roviny obalují válec rovnoběžný s přímkou y — 0, z — x tg 30° 
x — z V3 = 4 c cos 3 cp, y = — 4 c sin 3 cp, 
jehož řídící čára v rovině V x y jest astroida. 
* 
6. Bod M čáry r a bod na strikční Čáře a jeho normále ležící M 0 
jsou s průseky P, P', jež hlavní normála stanoví na válci x 2 + y 2 = c 2 , 
v souvislosti vyjádřené barycentricky 
c M -j- ci Mq = (c -j- &) P 
c M — a M 0 = (c — a) P' ; 
z toho plyne, že body P P' M M 0 tvoří čtveřinu harmonickou,*) čili že 
body M M 0 jsou vůči kruhovému válci (c) harmonicky sdruženy. Mimo to 
jsou dělící poměry 
MP _ a MP' _ a 
p1^“T , 'p 7 m 0 T _ c* 
P M _ a — c P M 0 _ a — c 
MP' a + c ’ M 0 P' a + c 
veličiny stálé. 
Sférická šroubovice dělí tedy tětivy svých hlavních normál, stano¬ 
vené základním válcem x 2 + y 2 = c 2 , ve stálém poměru. 
Poněvadž dle konstrukce jest O S x J__ P 1 P x ' t je S x středem tětivy 
P 1 P 1 / a bod S je středem tětivy PP'\ 
,,Střed křivosti půlí tětivu hlavní normály P P' na základním 
válci stanovenou/' 
Obraťme se nyní k tečnám čáry F. Směrnice tečny mají hodnoty 
sin y cos tp, sin y sin ip, cos y, a body na tečně se vyjadřují parametricky 
takto: 
* = 
cos (ip 
» a c 
<p) — 
cos (ip -f cp) + v sin y cos xp, 
( 16 ) 
Cl -f" c . . 
y — -o— sin (xp — cp) — 
a — c 
2 vr 2 
z = —V a 2 — c 2 cos cp + v cos y, a cp 
sin {ip -j- cp) + v sin y sin ip 
c xp 
při čemž počátek souřadnic je v bodě V. 
*) Vlastnost ta se přenáší na kruhové kotálnice v rovině: Bod kotálnice 
jest se svým středem křivosti vzhledem k pevné kružnici harmonicky sdružený. 
(Srov. Cesáro, Vorlesungen uber naturliche Geometrie, dtsch. v. G. Kowalewski, 
str. 59 .) 
XXXIII. 
