31 
Totéž platí o hypocykloidě a cykloidě; obecně se vyjadřuje výsledek 
větou: 
,,Při rozvinutí plochy tečen sférické šroubovice T v rovinu, 
kterým tato přechází v čáru G (21), transformuje se střední epi- 
cykloida v její evolventu 
! 2 ) 
Xn - 
= 
a k 2 
a k 2 
[ cos (k — 1) (p 
k — 1 
[ sin (k — 1) (p 
~T=T~ 
+ 
COS (k + 1) (p J 
k +1 
sin (k -j- 1) qp 
k 
1 
tg Y- 
V případě k — 1 (cykloida) se u výrazu x 0 první člen závorky na¬ 
hradí číslem ~ . 
A 
Délka oblouku na střední epicykloidě má hodnotu a k 2 sin (p. 
Zvolíme-li libovolnou epicykloidu v rovině se základními prvky R 0 
a r 0 , poskytnou její normály ohnutím roviny podél nich nakrojené roz- 
vinutelnou plochu; při tom existuje případ, kdy tato je stejného spádu, 
t. j. kdy pravoúhlé trajektorie přímek jsou čáry rovinné, vespolek rovno¬ 
běžné, při čemž společná normála jejich rovin svírá s přímkami plochy 
stálý úhel y určený rovnicí 
tg y = k = 1 + 
2r 0 
úvratnice plochy je čára, v niž transformací přešla evoluta, a je to sfé¬ 
rická šroubovice ležící na kouli poloměru 
k (R 0 + 2 r Q ) — R 0 
k 2 
Také případ, kdy konstanta y má hodnotu jinou než právě udanou, 
vede na čáry šroubové, nikoli však sférické. 
Předpokládejme, že jsme vyšli z epicykloidy 
(Eo) x o + iyo= (Ro + r o — r o e i(i ) e ia , R 0 <* = r o'P> 
jejíž normály jsou povrchové přímky rozvinutelné plochy po rozvinutí 
v rovinu. 
Vyšiňme plochu z roviny, tak aby čára (E 0 ) padla zcela do roviny 
Oxy, kde zaujme tvar (E); přímky její budou svírati s osou Oz úhel 
stálý, který značme y. Nový tvar plochy má úvratnici r, na níž bud M 
libovolný bod, příslušný k parametru /3; bud P 0 stopa povrchové přímky 
M P 0 na rovině x y, P pak půdorys bodu M. Je pak P 0 M = q zároveň 
poloměr křivosti čáry (E 0 ) v příslušném bodě, a jeho průmět P 0 P je 
poloměr křivosti Čáry (E), poněvadž tato protíná kolmo přímky P 0 M, 
které jsou tečny čáry F, a jejich půdorysy jsou tedy normály cáry E\ 
XXXIII. 
