36 
Veďme dále bodem M přímku rovnoběžnou s A V (tětivou úvrat- 
níků); rovnice její jsou 
y = y, z = z — V3 (X — x), 
a stopa na rovině střední Z = c V3 
c V 3 — z = — VŠ (X 0 — x), Y 0 = y 
má souřadnice 
z — c V 3 o -2 
X q = x + --y—- = 2 c sm 2 cp cos cp , 
\ 3 
Y 0 = 2 c sin z cp ; 
polární rovnice této racionální čáry stupně 6. zní 
q = 2 c sin 2 <p, 
a je známa pode jménem Doppeleilinie,*) kterýžto název přeložíme slovem 
dvoj ovála. 
Její rovnice zní 
(* 2 + y 2 ) 3 = 4 c 2 y 4 . 
„Promítající válec sférické šroubovice 30° spádu rovnoběžný s tě¬ 
tivou úvrátníků seče střední rovinu V x y v dvoj ovále. “ 
Tečna dvoj ovály je kosoúhlý průmět tečny čáry F, ostatně můžeme 
stroj iti normálu planimetričky na základě polární subnormály 
(/ — 2c sin 2 cp. 
Pro poloměr křivosti podává elementární vzorec 
(p 2 + (>' 2 ) 3/ * 
R = 
hodnotu 
zej měna jest 
R = — c sin cp 
ó 
P 2 + 2 p' 2 qq " 
(sin 2 cp -f- 4 cos 2 cp)* 1 * 
1 + cos 2 cp 
„ % n 71 n 
pr 0 ( 1 p= 0 , T , T , T ; T 
resp. R = O, 13 V * 3 * , c , 7^21 
42 9 30 
C ’T C ‘ 
Pro tečnu dvoj ovály nalezneme snadno 
3 X sin 2 cp — (1 -f 3 cos 2 cp) Y = 4 c sin 3 cp. 
*) F. Múnger, Dissertace; Bern 1894. Intermédiaire des Math. 9 (1902), p. 335. 
H. Wieleitner, Spez. ebene Kurven (1908), str. 71. Gino Loria, Spez. eb. Kurven, 
str. 311 (1902). 
XXXIII. 
