15 
Normála qx bodem S x ku G jest pro každé A geometrickým místem středů 
takových koulí, které protínají sféry . . . K 4 (A) ve stejných úhlech 
a o nichž víme, že tvoří svazek. Přímky qx vyplňují rovinu Qx jdoucí 
přímkou ax kolmo ku G. 
Uvažujeme-li čtveřinu sfér KJ A) K 2 (A) K 3 (A) K 5 (A) , dospějeme stejným 
postupem ku přímce ax , která jest geometrickým místem středů S/ ortho- 
gonálních koulí Ma' ke čtveřinám Ký A) K 2 (A) K 3 (A) Ký A) . Přímka ax jde tedy 
středem S 0 ' koule M 0 ', která jest opsána tetraedru M 1 M 2 M 3 M 5 a jest 
kolmá ku rovině podobnosti IP sfér K 1 ', K 2 ', K 3 ', K 6 ', jež jsou soustředný 
s plochami K 4 , K 2 , K 3 , K 5 a jejichž poloměry jsou v poměru rf : r 2 2 : r 3 2 : r 5 2 . 
Orthogonální koule M/ tvoří opět svazek, stanovený prvky M 0 ' a IP. 
Přímky ax, ax protínají se v bodě S; neboť obě protínají normálu n Q 
v bodě M 0 k rovině M l M 2 M 3 vztyčenou a jsou kolmé ku přímce h ; leží 
tedy v rovině jdoucí přímkou n 0 kolmo ku h. Bod 5 jest nyní středem 
koule, která jest orthogonalná ke všem pěti koulím KJ A ', K 2 (A) , K 3 (A) , K 4 (A) , 
K 5 (A) , pro hodnotu A jim příslušnou. 
Normála qx z bodu Sx ku G' jest pro každé A geometrickým místem 
středů takových koulí, které protínají sféry příslušné čtveřiny KJ A) K 2 (A) 
K 3 (A) K 0 (A) ve stejných úhlech a tvoří svazek stanovený rovinou G' a koulí 
M^'. Přímky qx' vyplňují rovinu Qx' jdoucí přímkou ax kolmo ku G'. 
Roviny G, G' procházejí přímkou g, která jest společnou osou podobnosti 
trojic sfér K/ A) K 2 (A) K ;i (A) pro všecky hodnoty A. Přímky qx, qx , příslušné 
téže hodnotě A, protínají se, ježto leží v rovině kolmé ku g, v bodě Tx, 
jenž jest středem koule Wa, protínající všech pět sfér Ký A) , . . . K 5 (A) , téže 
hodnotě A příslušných, ve stejných úhlech. Body Tx tvoří přímou řadu, 
jejíž nositelkou jest průseČnice x rovin Qa. Qx'. 
12 . Přímku x obdržíme nejjednodušeji, vedeme-li body S 0 resp. S 0 ' 
kolmice ax resp. ax ku H resp. IP a dále těmitéž body kclmice q 0 resp. q 0 ' 
ku G resp. G'; přímka % spojuje pak body ax . ax', q$ . q 0 '. 
Každá kulová plocha Wa prochází průsekem roviny G s Ma a má svůj 
střed na x. Ježto pak, mění-li se A, vytvořuje koule Ma svazek koulí, tudíž její 
průsek s rovinou G svazek kružnic, tvoří právě uvažované koule Wa, 
které vytínají tento svazek z G a mají středy na x, svazek koulí (Wa). 
Můžeme tedy říci: 
K péti sférám lze sestrojiti jednu kouli isogonálnou ; méníme-li úměrné 
poloměry sfér, zachovávajíce jejich středy, probíhá zmíněná koule svazek 
kulový/. 
Koule Wt tohoto svazku, která má střed v bodě ax . ax', náleží svazku 
(M 0 H) resp. (M 0 r IP) a jest takto jednoduše určena. Rovněž koule W 2 
svazku (Wa), jež má střed v bodě q 0 . q 0 ', jest jednoduše dána, náležíc 
svazku (M 0 G) resp. (M 0 'G'). Tím jest stanoven svazek (Wa) a jeho 
potenční rovina P. Budiž i základní kružnicí tohoto svazku, ať reálnou 
nebo imaginárnou. 
XXXVI. 
