8 
přímek ve dvou projektivních involucích v různých přímkových systémech 
téhož hyperboloidu. 1 ) 
Naši sborcenou plochu označme si P 4 , a jako tato jest geometrickým 
místem dvojin diagonál d v d 2 budiž P x 4 geometrickým místem diagonál 
dí, d 2 , Samozřejmo jest, že tato plocha jest též 4. stupně. 
Budtež: 
Ma) ^ a > ^ a j Mp, V p , íí p , V p 
postupně samodružmúni přímkovými dvojinami našich 4 involucí: 
J a, J a , J J p • 
Leží pak dvě přímkové dvojiny: u a , v a , up, vp na sborcené ploše P 4 . 
Protínají totiž přímku u a dvě přímky w/ a m 2 z přímkové řady p 2 a máme 
pak sborcený čtyřúhelník, jehož dvě protější strany jsou nekonečně 
blízkými splývajíce v u a , a druhými dvěma stranami jsou přímky m x ' 
a m 2 '. Diagonálami pak tohoto čtyřúhelníka jsou patrně dvě přímky v u a 
splývající. Možno tudíž přímku u a jakožto diagonálu považovat i za přímku 
plochy P 4 . Zcela analogicky platí to o přímkách up, v a , Vp. Ploše P 3 4 náležejí 
pak zase z týchže důvodů přímky u a r , Up , v a ', v/. 
Naše dva hyperboloidy A 2 a B 2 stanoví nám, jak jsme dříve ukázali, 
dva lineární komplexy, které jsme vzhledem ku hyperboloidovým řadám 
v nich obsaženým označili: {a 2 , /3 X 2 } a {a x 2 , /3 2 }. Lineární komplex {a 2 , 
možno si mysliti vytvořen oo 1 lineárními kongruencemi, jejichž dvojiny 
přímek řídicích jsou dvojinami přímek involuce Ja' v řadě « x 2 nebo invo- 
luce Jp v řadě /3 2 . Podobně involuce J a nebo involuce Jp v řadách « 2 
resp. (3 l 2 vedou ku lineárnímu komplexu a x 2 , /5' 2 }. Z toho vytvoření našich 
lineárních komplexů vyplývá, že přímky sborcených ploch P 4 a P x 4 jsou 
obsaženy v lineární kongruenci oběma těmto lineárním komplexům společné. 
Neboť na př. dvojina přímek d v d 2 plochy P 4 , dvojice to diagonál libovolného 
čtyřúhelníka z oo 1 sborcených čtyřúhelníků a v a 2 , b v b 2 , protíná i přímky 
a v a 2 , dvojinu to involuce J a v řadě a 2 , i dvojinu b v b 2 , dvojinu to involuce 
Jp v řadě /3 2 , a náleží tudíž oběma lineárním komplexům {a 2 , p ± 2 } a {« x 2 , /3 2 } 
a tudíž i jejich lineární kongruenci. Podobně přímky plochy P x 4 náležejí 
téže lineární kongruenci. 
Z toho nutně vyplývá, že řídicí přímky lineární kongruence lin. 
komplexů {a 2 , a {a-f, /3 3 } jsou též řídicími přímkami ploch P 1 a P^ a sice 
dvojnásobnými řídícími přímkami, ježto tyto sborcené plochy jsou stupně 
čtvrtého. Jsou tedy naše sborcené plochy stupně čtvrtého rodu 1. 
Ježto jsme ukázali, že samodružné přímky našich uvažovaných invo¬ 
lucí, totiž přímky u a , v a \ up, vp, náležejí ploše P 4 a přímky u a ', v a '; Up , vp 
4 ) O zobecněném cylindroidu. Rozpravy České Akademie 1914. Č. 1 V. Pozna- 
menati dlužno, že uvedený zde důkaz biquadratičnosti plochy P 4 jest podobný 
druhému důkazu biquadratičnosti zobecnělého cylindroidu v citovaném zde pojed¬ 
nání (viz pag. 8 a 9). 
XXXVIII. 
