2 
Rovnicemi (2) a (3) jest stanovena charakteristická kružnice (char¬ 
akteristika) na ploše P; kružnice ta jest proťata rovinou (4) ve dvou 
charakteristických bodech M 1 (x v y v z x ) a M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), jichž souřad¬ 
nice vypočteme řešíce rovnice (2), (3) a (4) dle x, y , z. Při výpočtu jest 
dbáti toho, že devět směrových cos. a, a' . . . c" tvoří orthogonální deter¬ 
minant. Po snadných redukcích obdržíme 
x lt 2 = l + b q — a p ik c VV 2 — P 2 — q 2 j 
y v 2 = m + V q — a' p H- c' V r 2 — p 2 — q 2 i , (5) 
z v 2 = n + b" q — a" p + c" Vy 2 — p 2 — q 2 J 
kde jest užito zkratek 
Poloha bodů M x a M 2 nezávisí tudíž na hodnotě torse křivky k. 
Přímka M x M 2 definovaná rovnicemi (3) a (4) jest rovnoběžná s bi- 
normálou křivky k v bodě A. Jsou-li x 0 , y Q , z 0 souřadnice středu úsečky 
M 1 M 2 , jest dle (5) 
x o = l -\- b q — a p, y 0 — m + b' q — a' p, z 0 = n + b" q — a" p, 
(x 0 — l)c+ (y 0 — w) c' + (^0 — n ) c " = 
t. j. body M í a M 2 jsou souměrně sdružené vzhledem 
k o skulační rovině křivky k v bodě A. 
2. Hrana vratu T na ploše obalené kulovými plochami P jest geo¬ 
metrické místo bodů M-l a M 2 \ má obecně dvě větve. Zabývejme se 
plípadem, kdy obě větve splývají. Přímka M 1 M 2 jest v tomto případě 
tečnou charakteristické kružnice; bod dotyku M leží v oskulační rovině 
čáry k a v něm dotýká se charakteristická kružnice čáry J\ Jinými slovy: 
T jest orthogonální trajektorie oskulačních rovin čáry k, aPjsou osku- 
lačními koulemi křivky T. Aby tento případ nastal, musí r 
vyhovovati differenciálné rovnici druhého řádu 
= o, 
(I) 
kterou obdržíme annulujíce diskriminant v (5). 
Z rovnic (2) až (4) plyne snadno důkaz následující věty, kterou 
C ě s a r o x ) dokázal jiným způsobem: Nejobecnější řadu kulových ploch, 
jichž středy naplňují danou křivku k a jež jsou oskulačními koulemi jiné 
křivky, sestrojíme takto: k neci ť se deformuje beze změny křivosti tak, 
aby přešla v rovinnou křivku k 0 . V její rovině zvolme pevný bod B 
a opišme kolem každého bodu křivky k 0 kouli P procházející bodem B. 
Hledanou řadu kulových ploch obdržíme deformujíce k 0 tak, aby nabyla 
ú Cěsaro: Vorlesungen uber naturlichs Geometrie (přel. Kowalewski) 
p 185—186. 
XL. 
