5 
V prvé z obou výše zmíněných prací dokázal jsem následující větu 
o prostorových křivkách: čtyř soumezných oskulačních rovin dotýká se 
jediná zcela určitá kulová plocha, jejíž poloměr obecně nerovná se nulle. 
Nazveme tuto plochu oskulační koulí druhého druhu; 
její střed jest — jak lze snadno potvrditi výpočtem nebo geometrickou 
úvahou — v průsečíků tří soumezných rektifikačních rovin dané křivky. 
Tři soumezné roviny n protínají se v bodě A křivky k\ ve specielním 
případě našeho problému uvedeném na počátku tohoto odstavce jsou 
koule P oskulačními koulemi druhého druhu pro 
jistou prostorovou křivku. Aby tento případ nastal, musí 
hověti r differenciální rovnici druhého řádu 
■-(tt)—*■(•£?)■ = »■ < n > 
kterou obdržíme annulujíce diskriminant v rovnicích (11). Interpretace 
rovnice (II) vede k následující větě, která jest úplně analogická větě 
Césarově (viz odst. 2): 
Nejobecnější řadukulových ploch, jichžstředy 
naplňují danou křivku k a jež jsou oskulačními 
koulemi druhého druhu pro jinou křivku, sestro¬ 
jíme takto: k nechť se deformuje beze změny kři¬ 
vosti tak, aby přešla v rovinnou křivku k 0 . V její 
rovině zvolme pevnou přímku b a opišme kolem 
k a ž d é h,o bodu křivky k 0 kouli P dotýkající se 
přímky b. Hledanou řadu kulových ploch obdržíme 
deformujíce k 0 tak, aby nabyla opět tvaru k, při 
čemž každá koule P zůstává stále pevně spojena 
se svým středem na deformující se křivce. 
Důkaz: Budiž z = 0 rovina křivky k Q a (/, m, 0) bod na křivce k 0 . 
Rovnice 
mI + íiw + / — r = 0, (II') 
kterou obdržíme dosazujíce do (8) n — 0 , w = 0 , vyjadřuje danou pod¬ 
mínku pro r. Abychom vyloučili konstanty u, vat, derivujeme (II') 
dvakráte dle s a ku třem rovnicím takto získaným připojme čtvrtou: 
u 2 *|- v 2 = 1. 
Poněvadž pro křivku k 0 platí a" — 0, b" = 0, c" = 1, obdržíme 
resultát eliminace dosazujíce příslušné hodnoty do třetí rovnice (11) ; 
vychází právě rovnice (II), jejíž obecným integrálem jest rovnice (II') 
[vyhovuj í-li ovšem integrační konstanty t, u, v podmínce (15)1. 
•5. Differenciální rovnice (I) má singulární integrál 1 ) 
_ r = ht s + conšt, (16) 
J ) Sr. Picard: Traité ďAnalyíe 2 e édition t. III, p. 52. 
XL. 
