5 
3. Přímka p jest jednou osou naší prostorové paraboly p z , 
Leží-li totiž na třech přímkách p n , p , p x projektivní řády bodové 
A 0> B 0 , C 0 ,..A, B, C, . ,, A v B v C v ..., obalují roviny A 0 A A x , B 0 B B v 
C 0 C C v ... kubickou prostorovou křivku p z . Přímky A 0 A, B 0 B, C 0 C, . . . 
vytvořují řadu přímkovou Q, přímky A A v B B lf C C v . . . řadu Q r Tečné 
roviny k oběma v bodech přímky p tvoří dva projektivní rovinové svazky 
a dvojné roviny jejich jsou dvě oskulační roviny křivky p z , které se protínají 
v přímce p. Neboť je-li F bod na p, v němž mají Q, společnou rovinu 
tečnou, obsahuje tato jak přímku F 0 F tak přímku F F x a také přímku p. 
V našem případě 1 ) jsou Q, dva nekonečně blízké hyperbolické para¬ 
boloidy. Rovina M 0 vedená přímkou p rovnoběžně ku M jest asymptotickou 
rovinou jak pro Q tak pro Q x , jest tedy M 0 oskulační rovinou křivky p z % 
Průsečnice a 0 , b 0 , c 0 . . . . oskulačních rovin A, B, C, . . . s oskulační 
rovinou M 0 křivky p z obalují kuželosečku, která jest zde parabolou (v), 
ježto nekonečně vzdálená rovina U jest též oskulační rovinou křivky p z . 
Pro parabolu (v) známe tedy tečnu p, průsečnici a 0 rovin A, M 0 
a obě tečny, které se promítají jako tečny jdoucí bodem r' ku (u) a jež 
jsou též spojnicemi bodu r' s průsečíky kružnice k a s přímkou p'. Tím 
jest parabola (v) úplně určena a můžeme lineárně sestrojiti její tečny 
b 0 , c 0; . . ., čímž jsou také dány roviny B, C, . . . 
Shrneme-li tyto úvahy, plyne následující konstrukce roviny B, 
jsou-li A, K a dány. 
Ze středu křivosti K a křivky (A) v bodě A odvodíme známým 
způsobem střed křivosti a křivky (A') v bodě A', na př. jako střed kři¬ 
vosti oné ellipsy jdoucí bodem A', která dotýká se a', má bod K a ' za 
střed a jejíž hlavní osa má směr stopy a\ roviny A, Z k odvodíme pak 
způsobem prve uvedeným bod P a bod r' souměrný k němu vzhledem 
ku rí ; nad úsečkou rí r ' jako průměrem sestrojíme kružnici k x a spojíme 
body, v nichž protíná p', s bodem r' přímkami Rovnoběžka a 0 ' 
ku a.\ bodem A' vedená určuje s p', p,, q. 2 jako tečnami parabolu (v '); se¬ 
strojme bodem B' tečnu b 0 ' ku (v') } různou od p' \ pak jest rovina B sta¬ 
novena přímkami b 0 , b. 
Tuto konstrukci možno přímo provésti jen tehdy, jsou-li q 2 reálné. 
Není-li tomu tak, stanovme pól G přímky p' ku k x \ tento jest zároveň 
pólem involuce na k v která promítá se z bodu r' paprskovou involucí (J), 
mající q v q 2 za paprsky dvojné. Parabola (v') jest zde určena nekonečně 
vzdálenou přímkou své roviny, přímkami p ', a Q ' a dvojnými paprsky 
Pí, 02 involuce (J) a jde o to, sestrojiti lineárně její tečnu b 0 '. To vede ke 
známým konstrukcím. Veďme na př. rovnoběžku ku a 0 ' bodem r ', spojme 
její průsečík s k x a bod G přímkou, jejímž druhým průsečíkem s k x vedeme 
přímku (p k bodu r'. Dále protněme B' r' s k x , spojme průsečík s bodem G 
r ) Okolnost, že zde p z degeneruje, byla přehlédnuta, k čemuž bude při jiné 
příležitosti poukázáno. 
XLI. 
