totiž Ptl, P 2 a rovinu k této kolmou a přímkou n x jdoucí. Leží tedy bod G v 
a obdobně též G 2 , v rovině M. 
Z toho soudíme, že (O jest Mongeovou rovinou paraboloidu U. 
Osa tohoto jest tedy kolmá k rovině (Op), což též plyne odtud, že obě 
řídící roviny paraboloidu jsou kolmý k rovině (Op). 
Že hlavní roviny xy, y z, zx dotýkají se U, vidíme též z toho, že 
polární rovina průsečíku přímky q s některou z nich jest k ní kolmá, 
tedy kolmice s tohoto průsečíku na polární jeho rovinu leží v uvažované 
hlavní rovině. 
Přímky n plochy U v hlavních rovinách xy, y z, z x ležící obdržíme 
též jako průsečnice těchto rovin s rovinami kolmými ku p a vedenými 
průsečíky přímky q s rovinami hlavními. 
Je-li p paprskem osového komplexu, platí totéž o přímce q, ku p 
kolmé; paraboloid U přejde zde v parabolu u, totiž komplexovou para¬ 
bolu v rovině vedené přímkou q kolmo ku p. Můžeme tudíž komplexové 
paraboly zváti též Steinerovými parabolami. 
Je-li specielně přímka p tečnou plochy R, dotýkající se jí v bodě T, 
jest q tečnou ku p sdruženou a dotýkající se rovněž v bodě T. Roviny 
P x , P 2 přejdou v tečnou rovinu (p q) a v normálnou rovinu V přímkou p 
jdoucí. Vidíme, že (p q) dotýká se paraboloidu U v pólu V roviny V 
vzhledem ku R. Tento pól V leží na q a druhá jím jdoucí přímka plochy U 
jest kolmá ku p ležíc v rovině (p q). 
Jsou-li specielně p, q osy indikatrie bodu T plochy R a je-li n nor¬ 
málou příslušnou, jest (q n) rovinou křivky u. Rovina (qn) vytíná tudíž 
z hlavních rovin tečný trojúhelník paraboly u a q, n jsou dvě další tečny 
její; pól roviny (p n) ku ploše R jest zde tečným bodem pro tečnu #křivky u. 
Průsečnice rovin (Op), (qn) jest řídící přmkou paraboly u. To 
plyne již z přechodu plochy U v parabolu tu; můžeme též však podati 
přímý důkaz. Především jest u Steinerovou parabolou bodu T k prů- 
sečné křivce r roviny (q n) s plochou R, ježto póly rovin jdoucích přímkou p 
vzhledem ku ploše R jsou zároveň póly jejich průsečnic s rovinou (qn) 
vzhledem ku křivce r. Proto jest osa paraboly u kolmá ku (Op). 
Každá rovina E přímkou q má pól E na p\ ona protíná plochu R 
v kuželosečce, jejíž střed E 0 jest průsečíkem přímky O E s E. Mají tedy 
všecky takové kuželosečky v rovinách jdoucích přímkou q středy v ro¬ 
vině (0 p) ; tedy také kuželosečka r. Leží tedy střed R 0 této křivky na 
průsečnici roviny (Op) s rovinou (qn)', tudíž jest tato průsečnice T R 0 
řídící přímkou Steinerovy paraboly u bodu T ku r, neboť u dotýká se 
nejen p a n, ale též os křivky r. 
Rovněž tak plyne, že je-li p paprskem osového komplexu, a tedy 
degeneruje-li plocha U v parabolu u, že tato jest též Steinerovou para¬ 
bolou ke kuželosečce, v níž protíná plochu normálná rovina Q přímkou q 
ku p, a to pro průsečík této roviny s přímkou p\ osa paraboly u jest zde 
rovněž kolmá ku (0 p). Stopní trojúhelník roviny Q na hlavních rovinách 
1 * 
XLVII. 
