9 
Polární rovina bodu L x k dané ploše 2. stupně jest orthogonálně 
promítací do roviny x z, tudíž jest kolmice l x s bodu L x na P' L 2 rovněž 
přímkou plochy Uj, tudíž také tečnou ku parabole U/. Stopa m roviny M 
v rovině x z prochází stopou N přímky n a jest kolmá ku P' L lt ježto 
M J_ P L v Při tom jest N průsečíkem výšek trojúhelníka N 1 N. Z P / . Prů¬ 
sečík H přímek l v m náleží přímce p, neboť tato jest částečným průsekem 
plochy U x a roviny M; jest tedy H stopou přímky p, náleží tudíž také 
přímce p'. Proto jest p' tečnou k U 1 / jdoucí bodem H a různou od l v 
takže možno ji lineárně sestrojiti. Pro U/ známe tečny x, z, rí, P' L x , l x 
a nekonečně vzdálenou přímku g roviny x z, můžeme tedy obdržeti přímku p' 
různým způsobem; užijme na př. šestistranu p' l x x z g rí , tedy protněme 
rovnoběžku k z bodem H rovnoběžkou k rí průsečíkem l v x vedenou, 
načež spojnice tohoto průsečíka s bodem 0 protne rí v bodě M'. Bod L 2 
jest průsečíkem výšek trojúhelníka tvořeného tečnovým třístranem 
(rí, l lt P' L x ) paraboly U/. Leží tedy L 2 na řídící přímce paraboly U/, 
což plyne též odtud, že kolmice k rovině P L 2 0, která má O L 2 za stopu, 
promítají se do přímek rovnoběžných s osou křivky U/. Průměty úseček 
vyťatých přímkami rí, l x na tečnách křivky U/ na přímku 0 L 2 jsou tudíž 
navzájem rovny. Protínají-li tedy na př. kolmice s L x a H na O L 2 přímku rí 
v bodech I, II, jest i co do smyslu II M' = IP'. 
Můžeme zde též dospěti k výsledkům, které vyvodil svou dobou 
A. Mannheim x ) a jejichž odůvodnění spočívá u něho na několika známých 
vlastnostech osového komplexu; konstrukce zde vyvozené jsou však ještě 
jednodušší. 
9. Užijme' dále plochy U ke konstrukci os centrické plochy 2. stupně. 
Předpokládejme, že přímky p, q jsou polárami ku ploše R a budte 
též známy involuce sdružených rovin ku ploše ve svazcích o osách p, q, 
jakož i střed O plochy. 
Přímky normálně sdružené k rovinám jdoucím přímkou p tvoří 
hyperbolický paraboloid U, jenž spočívá na přímce q, kdežto normálně 
sdružené přímky rovin svazku kolem q tvoří druhý hyperbolický para¬ 
boloid U*, spočívající na p. Bodem O prochází příčka o přímek p, q, protí¬ 
nající je v bodech P, Q. Polára o* přímky o jest nekonečně vzdálená 
přímka diametrální roviny O sdružené k o. Jest tedy Q pólem roviny 
přímkou p rovnoběžně k O vedené; tudíž náleží kolmice bodem Q ku O 
paraboloidu U a kolmice bodem P ku O paraboloidu U*. Oba paraboloidy 
dotýkají se tedy roviny E, která promítá o orthogonálně do roviny O. 
Hlavní roviny plochy R dotýkají se každé plochy U. Jsou tedy společnými, 
od roviny E různými, tečnými rovinami kuželů K, Iv*, které jsou opsány 
z bodu 0 plochám U, U*. 
x ) Sur la dětermination, en un point ďune surface du second ordre, des axes 
de 1’indicatrix et des rayons de courbure principaux. — Journal de mathématiques 
pures et appliquées. T. VIII. 1882. 
XLVII. 
