10 
4. Vzorec (2) §.11 naší rozpravy poskytuje bezprostředně reciprocitu 
(10) r(s) -í 
b,c;s) = r(l — 6- 
K*(a,b,c;l — j) , 
zcela podobnou oněm, jež objevili Malmstén, Schlómilch, Lipschitz, Riemann, 
Hurwitz a Stieltjes. 
Abychom to ukázali, pišme citovanou rovnici ve tvaru 
(a) 
r 
K'(a, 6c; s) 
= 2 r(s) «-’t(2s)p° + 2r(s - l ) ni ~°£(2s — 1 ) 
oo 
, , 1-5- V o í -fimnnU + ±) , 3 
-j- 4 v /? 2j cos zmnoLTi . -— 1 \ ^ v z s ~ d z , 
m,n \. m 'J V 
kde součet vztahuje se k hodnotám m ,n = 1,2,3,4, 
Tu pak jest 
co oo 
an prvý integrál přejde v druhý substitucí — za z ; nahradímeli tedy v (a) 
Z 
integrál posledně psaným tvarem, a vyměnímeli summační ukazatele m , 7Z, 
obdržíme týž výsledek, jako kdybychom byli v řadě psali 1 —j za í. Zname- 
námeli tedy na okamžik f(s) veličinu (a), máme 
f(s) —/(1 — s) = 2p [r (j) *— f (2 s) — r (i — í) ^ - 5 f (1 - 2 sf\ 
+ 2,S‘-*[r(í—!)»-*+! f(2f — 1 ) — r(l — i)®*- 1 f(2— 2-r)] 
a pravá strana je nullou, any obě závorky mizí na základě Riemannovy reci¬ 
procity 
r (~) »" ¥ t (s) = r f (i - s,. 
-pmn, r(?+|) 
dz 
Bude tedy f(s) = /(l —j) , což jest právě vzorec (10). 
Vztah tento možno však dokázati ještě způsobem zcela podobným onomu, 
jehož Riemann užil při druhém důkazu svojí reciprocity. 
Předpokládejme, že reálná čásť veličiny s převyšuje jednotku, aby řada 
K’ (a, b ,c\s) = V ' T - i,,. 1 --j— 
^ (am- -4- 2 bmn -4- c 
m,n v i i 
konvergovala. Pomocí vzorce 
(m,n = 0,±1,±2,...) 
m 
(<a n>- -(-2 bmnc n-) & 
l- : — (am 2 -{-Vbrnn -f- c« 2 ) . 
= \ e fď x s - 1 d x 
4 . 
