11 
Následkem toho platí rozvoj 
(9) 
P{v\(t, 
KM 
I 
z něhož plyne, že P(v\a,(i) jest vůči veličinám v , a celistvou funkcí trans¬ 
cendentní, pokud /? není záporným číslem celistvým neb nullou. Z rovnic (8) 
plyne pak, že l I ( 0 (u,s) , ^ (u , j) jsou celistvé funkce transcendentní obou 
proměnných u, s ] a sice ^ sudou, ^ lichou vůči u . 
4. Pokud jsou splněny podmínky Reál. a j> 0 , Reál. (/? — a) >> 0 , existuje 
pravá strana prvé z rovnic (7); klademeli pak v integrálu z = 1 — x , obdržíme 
i i 
^ (1 - z y-a-l dz = ^ e -vx x p-a-l dx , 
0 0 
a tedy bude 
(10) P(v\u,fl) = e v P(— V,P — «,/?). 
Tato relace zde tak jednoduše odvozená poskytne ve zvláštních případech 
pomocí rovnic (8) vztahy 
( %(#*, 1 — j) , 
| (u,s) = — ie ~“ 2 (ui, 1 — í ) . 
Vyjádřímeli tyto vztahy přímo pomocí integrálů, máme*) 
e~ ? z s ~ 1 cos hyp 
9 V r © ud 
2uz dz = 7—— e u \ 
n 1 ^-) J 
e~ťz~ s cos 2uz dz , 
oc 
5 
e~v 
1 
sin hyp 2uz dz = 
n i-t) 
sin dz . 
Poznamenejme ještě, že z rovnice (10) obdržíme rozvinutím obou stran 
dle mocností v a porovnáním součinitelů následující vlastnost binomialních 
součinitelů 
( 12 ) 
tedy na př. pro x = n : 
*) Prvý ze vzorců (11) obdrželi jsme ve své práci »0 jistém integrálu omezeném« 
(Věstník král. čes. spol. nauk z r. 1886) na základě vlastností funkce d' 3 (u\z). Vztah (10) 
přichází u Kummera (Journal f. d. reine u. angew. Math., sv. 17, str. 228), kde vyvozen 
z vlastností řady hypergeometrické. 
IX. 
2 * 
