28 
Vložímeli sem hodnoty (19), obdržíme 
zrc 
H 
[ <I )0 m (<jp) l I i0 n (g>) + ( I jl m (<jp) ] d q, 
0 při m < n , 
1 při 777 — 71. 
Poněvadž 
bude 
^ sin 2 ep dep = cos 2 ep 
o o 
dep , 
2?r 
^ ( I )0 m (cp) (cp) dep = ^ (b\n (<p) (ep) dep , 
a tedy náš výsledek zní 
2 jt 
( 20 ) 
1 f 1 f 0 při < /z 
— \ 4>°rn (g) V°n (cp) dep = — \ cb' m (cp) (q) dq> = \ 
71 J 77 J 1 při ^ = tz 
o o { ^ 
Zvláště jest 
tedy 
vw 
D 0 iy , s) ■■ 
n*+ 1) 
*>+i) 
/z! jj/ 
*, .n(<r)=o. 
Ze vzorce (20) tedy dlužno vyloučiti případ m = 7i = 0\ v tom případě 
má prvý výraz hodnotu 1 , druhý jest 0. 
Vzorce (20) lze užiti k rozvinování funkcí reálné proměnné v řady tvaru 
oo oo 
/(*) — a n ,lj0 n (x) + K <I>'n (*) , 
n = 0 
a v řady tvaru 
CJKJ UU 
ý («) = 5] Un qt0 " (*) + S bn qíl * (*) • 
n = 0 
« = 1 
Přesný důkaz možnosti takovýchto rozvojů do jisté míry libovolné funkce 
f (x) vyžaduje však úvah mnohem hlubších a ponecháváme si na jinou pří¬ 
ležitost o něm pojednati. 
Vyložené zde výsledky jsou velmi podobny oněm, jež p. C. Neumann 
objevil o rozvinování funkcí analytických v řady tvaru 
5] «# E (— ~ , n) X n . 
IX. 
