32 
Tu bude 
w 
oo 
^ e~ cx <b{x) dx = A r ^+i ^ ; 
dle ( 2 ) má však levá strana hodnotu 
z_ &+!)—= y _ f- s ) 
>in s ti v ' 2 sin j n \ n ) 
— s\ 1 
2 sin 
n =0 
a tedy musí býti obecný člen hledané řady dán rovnicemi 
a-j-l = 2s-j-2n, r (a 1) A = £) —. - í \ 
1 1 \ \ / 2 sin S7T \ n J 
takže obdržíme 
(3) 
, / N n (—A x ^ s + ^ n ~ 1 
( x ) 2 sin ^ n (_ n ) r (2 s-\- 
2ri) 
jakožto hledaný rozvoj funkce (x) . 
Co se tkne přesnosti dedukce, nelze zamlčeti, že rovnice ( 7 ) není nutným 
následkem předpokládané rozvinutelnosti, a proto dlužno důkaz doplniti úvahou 
následující: Znamenejme nejprve q> (x) hodnotu řady (3); to jest položme 
/ . 71 f -J\ x Vs + Vn-l 
V ( x ) 2 sin j ti n ) r (2 s~\-2 
n ) 
čili 
, \ _ 7T y / -t\ n ( S > H ) + 
^ ^ — 2 sin.f».'m.r> - 1 ) nl(2s, 2 «) 
2siní 77 . j T(2j) m ^ 0 
což po krátké redukci obdrží tvar 
00 
9>(*) 
77 
(- 1)» /p2 5 + 2n-l 
2 r(2 j) . sin í n n ^ 0 4 ».„!(,+ !,*) 
n r ( s + 4) 
.2^ — 1 
2 r(2s) . sin í 77 
Tato funkce však jest pro s > ^ konečnou a spojitou v mezeře ( 0 ... 00 ), 
aspoň po násobení určitým činitelem e ~ ax , a jak se snadno ukáže, bude 
00 
^ e~ cx y 
(x) dx = 
2 sin í ti 
(^+l)" s . 
a tudíž musí dle (2) býti <1> (x) = v (x). Tím tedy dokázán vzorec (3), čili 
(3* 
00 
= r<i-,>fi(-£, .-i) 
^2 s — 1 
IX. 
