33 
ovšem za supposice sj>^. Abychom jej dokázali též pro ^ << ^, musili 
bychom ukázati, že rozdíl obou stran je konečný pro x = 0. To by však 
byl úkol obtížný, a proto zobecníme poněkud svůj theorém o funkcích vy¬ 
tvořujících. Dokážeme totiž větu: 
Jeli i (x) funkce schopná integrace v každém konečném oboru, jehož dolní 
mez je nulla a horní mez kladná veličina, a platili pro všecka c převyšující 
jistou mez 
oo 
^ l( x ) e ~ cx dx = 0 , 
o 
bude nutné y (x) = 0 , předpokládaje, že existuje konstanta c 0 , tak aby 
oo 
lim e~ c » x y(x) = 0 ; tuto lze voliti tak, aby integrál \ e~ c °* y(x) dx existoval. 
X —OO J 
0 
Důkaz. Pišme c-\-c 0 za c , a znamenejme e~ c » x % (x) = / 0 (x) ; tím 
obdržíme funkci / 0 ( x ) v každém z uvedených intervallů integrace schopnou 
a mizející v nekonečnu. Klaďme 
X 
^ jíoO)'^-- v>(*), 
0 
a pak obdržíme částečnou integrací 
0 
^ Xo (p) e ~ cx dx — c ^ tyfa) e ~ cx dx ; 
o o 
avšak y(x) je funkce konečná a spojitá v celém intervallů (0... oo) i na kon¬ 
cích jeho, a tedy z rovnice 
oo 
$ 
yj (x) e~ cx dx = 0 
platné pro všecka c převyšující jistou mez, plyne dle dosud dokázané základní 
d ip 
dx 
nější dokázána. 
věty, že ip (x) = 0 ; odtud plyne, že též / (x) = e c « x = 0 , čímž věta obec 
2. Murphy nalezl větu, pomocí které lze v některých případech ustanoviti 
funkci vytvořující, příslušnou k dané funkci určující. Tuto větu možno poněkud 
zobecniti. 
Nechť funkce vytvořující f(x) příslušná k funkci určující q (d) má rozvoj 
oo 
/(x) = y] a v x $ + v , 
v=0 
Rozpravy. Rojník II. Třída II. Číslo 9. 5 
IX. 
