35 
IV. 
1. Jeli reálná čásť veličiny a pravý kladný zlomek, bude integrál 
oo 
(1) <li(u\s ,<r)= ^ + Z s -1 
o 
při Reál. s O celistvou funkcí proměnné u , a její Maclaurinovský rozvoj se 
obdrží velmi jednoduše pomocí vzorce 
d 
du 
z něhož plyne iterací 
d n 
div ” 
<Z> (u ; s , (i) — </> (u ; í -|- a , <r), 
<í> (& ; j , o - ) = </> (&; s -j- n <j , a) . 
Jelikož 
máme 
a tudíž 
( 2 ) 
CX 
; j ^ 
<I> (0 ; í , ff) = \ e~^z s ~ 1 dz=r (ď) 
d^-<l>(u;s,<r) 1 = r(í + «<r) 
řJ> 
OO _ . . v 
(«;*,<0 = 2 j - “ Hí — 2 “ 
kterážto řada skutečně konverguje pro všecka u , jeli Reál. cr < 1 . K důkazu 
slouží vzorec 
log r(a) = (a — i) loga — a + i log 2n + cp (a), 
kde cp (a) je nekonečně malé pro nekonečně veliká a ; vzorec ten obyčejně se 
dokazuje pro a , jichž reálná čásť je kladná a velmi veliká; pan Stieltjes však 
ve své práci plné elegance*) dokázal správnost jeho ve všech případech. 
Pomocí tohoto vzorce vypočteme 
F (s -j- n g) 
log 
n ! 
= log r (s -f- 11 a) — log r {n -f-1) 
= ( s + n v — i) (log n + log d) — (n + y) log n -f- n — na -f- log A , 
kde log A je konečné pro n = 00 . Tedy 
^ jjll (cr — 1) -(- s — 1 gVl (1 — <r —|— cr log cr) 
n\ 
při čemž A značí veličinu, jež pro n — 00 je konečnou a od nully různou. 
") Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4. série, t. V, 1889. 
IX. 
5* 
