18 
Než výrazy pro Eulerovu konstantu lze ještě rozhojniti. Označme u n ra- 
cionalnou funkci indexu n , a hleďme v limitě 
L = lim I u t Uou n — X log (n -f- 1) 
n — oo L J 
stanovití hodnotu A na indexu /z nezávislou takovým způsobem, aby L bylo 
určitou konečnou hodnotou. Pak patrně musí též 
L — X 
± l 
n I 
býti konečná určitá hodnota, a to také stačí. Avšak, aby tato řada konvergo¬ 
vala, musí obecný člen její u n - - býti lomenou funkcí indexu n , jejíž čitatel 
jest alespoň o dvě jednotky ve stupni nižší než jmenovatel, z čehož jde, že rozvoj 
hodnoty u n dle klesajících mocností indexu jest tvaru 
Značí-li tedy 
nn s ~ x -[- a x n s ~ 2 -f- a s _ i 
Un= +... + /J, 
libovolnou ryze lomenou funkci indexu n , jejíž čitatel však jest zrovna o jed¬ 
notku v stupni nižší než jmenovatel, máme rovnici 
a 
J 
čímž Eulerova konstanta C vyjádřena limitou L a součtem j u n — 
Tento součet lze ale vždy vyčísliti, kdykoli má rovnice 
+ + + = 0 
vesměs reálné racionalné a různé kořeny, aneb též kořeny dvojné celistvé aneb 
různící se o od celistvých čísel, jakož z citovaného pojednání patrno. V těchto 
případech jest tedy C vyjádřeno limitou L a známým zakončeným výrazem. 
XII. 
