Sur une fonction cliscontinue. 
Dans cette notě je construis une fonction cp(x) de la variable réelle x, con- 
tinue pour toutes les valeurs irrationnelles de x , qui, pour les valeurs ration- 
nelles n’est continue que relativement aux accroissements positifs de x, et 
discontinue relativement aux accroissements negatifs. On trouve aisément 
de telles fonctions á 1’aide ďune méthode donnée par Hankel *) et généralisée 
par M. G. Cantor'**') notre fonction cependant présente quelque intérét en ce 
qu’on peut 1’évaluer, pour tout argument rationnel x , á l’aide de fonctions 
élémentaires sous formě finie, et qu’on peut, ďune maniěre analogue, évaluer 
la différence cp (x — 0) — cp (x) . 
On parvient á cette fonction, si l’on cherche de déduire la formule de 
Cauchy relative á la fonction r , qui généralise une formule analogue due 
á Euler , en faisant usage de la formule de M. Weierstrass, qui exprime 1 : r(x) 
sous formě ďun produit de facteurs primaires. 
En effet, k étant un entier positif, on voit de suitě que le quotient de 
r(pc) par le produit 
'(ÍM £ í i )'-( ií± í= i ) 
est de la formě e G W y Q désignant une fonction entiěre, ce qui donne 
1 oo 
nn 
( x ) 
(k — 1) C 
j) v =0 n — 1 
x+v — k + kn -*y n —\ 
kn I 
n 
[ x±n--\ r Vl 
l n j 
C est la constante ďEuler. 
Si Ton pose 
p v — k li —j - v — k —[— 1 , 
*) Dini, Fondamenti par la teorica delle funzioni di variabili reali, Pisa 1878, p. 185. 
**) G. Cantor, Uber ein neues und allgemeines Condensationsprincip der Singularitaten 
von Functionen, Math. Ann. XIX. pag. 588. 
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