30 
Jakmile dovedeme tento integrál rozvinouti dle mocností e~ v , bude úkol 
stanoviti součinitele trigonometrického rozvoje funkce f(x) řešen. Součinitele 
A 0 , A _ i , A _ 2 ,... obdržíme totiž cestou analogickou z integrálu 
i 
dx 
\ 
f( x ) 
e~ 
v -\-%xni 
oo 
J] A- v e ~ vv 
v=0 
Hledejme na př. trigonometrický rozvoj funkce 
oo 
/(«) 
oo 
S T 
e a (x + ii) 
_ Jíxti i-\-Qbn (x-f- n) ’ 
n~ — oo - 
kde a,b jsou reálné veličiny hovící podmínce 0 <^a 
Tu bude nám především stanoviti integrál 
oo 
J = 
oo 
0) 
oo 
-i 
e ax dx 
^ _ gf&Ujii -f-2£?rx^ -\-%xji i _ jQ 
v >> 0 , 
což se podaří pomocí věty Cauchyovy. 
V jižní polovici roviny (x) leží pouze tyto póly integrované funkce: 
n — u . 
a jeli u pravý zlomek —jak chceme předpokládati — dlužno voliti 
n = 0, — 1, — 2 ,.... 
Uvažujme nyní integrál tétéž funkce, jako v integrálu (a), ale vzatý po 
uzavřené cestě složené z přímočarých úseků (— N... N) , (AT . . N — Mi) , 
(iV — Mí ... -— A/ — Mi) , (— N — Mi .. — N ), jež jest obdélníkem o vrcho¬ 
lech ±_ N , ±_ N — Mi ; při tom volíme M = ^ 2 
kde k značí 
kladné číslo celistvé. Pak bude na vzdálených částech integrační cesty inte¬ 
grovaná funkce nekonečně malou při nekonečně velikých M , N, a integrál 
tento bude se od J lišiti jen o veličinu nekonečně malou. Hodnota našeho 
integrálu bude však dle Cauchya rovnati se součinu — 2 ti i se součtem residuí 
integrované funkce, a poněvadž residuum na pólu x 
a (n -f- u) i 
n-\~ 2i . 
-1— i zni 
Gi 7 / V + ~T (» + «) . 
< Hbn{e b —1) 
mamě rovnici 
£ 
? o 
rí=0 v + 
e 
2?r 
(« + «) 
XXIII. 
