6 
Veďme bodem P libovolnou rovinu R a klaďme si otázku, jak nutno 
plochu H 2 voli ti, aby ji rovina R protínala v kuželosečce mající s plochou S 
v bodě P styk řádu třetího. 
Seče-li rovina R rovinu (x y) v přímce x a je-li y přímka v P k x 
kolmo vztýčená, přejděme k soustavě souřadné P (x, y, z) pomocí vzorů 
transformačních 
x = x cos cp — y sin cp, y — x sin cp + y cos (p, z — z, kde (p — <^C (x, x). 
Rovnici roviny R lze pak psáti y = a z. Rovina ta seče plochu S 
v křivce (s). Pro křivku tu obdržíme v bodě P, značíce r poloměr křivosti 
v P pro řez plochy s rovinou (xz), 
z' = 0, z" = — , z'" = 3 | — -— ) sin (p cos cp -f- A cos 3 (p -f- 
y L y \ y 2 ů * 
+ 3 B cos 2 qp sin (p + 3 C cos cp sin 2 cp + D sin 3 cp) J. 
Pro řez (y) roviny R s H 2 obdržíme v bodě P 
0 , 2 " = -^-, ^"= 3 ^-^- - cos cpsincpA- -- (g cos qp-J- hsin qp)j . 
Pro styk řádu třetího křivek (s) a (y) jest nutno a postačí, aby 
A cos 3 cp + 3 B cos 2 cp sin cp +3 C cos cp sin 2 cp -\-D sin 3 cp = 
1 
y 
(gcoscp+hsincp). (8") 
Podmínka tato jest nezávislá na a , z čehož jest opět patrno, že křivky, 
v nichž libovolná rovina přímkou x položena seče plochy S a H 2 , mají v P 
styk řádu třetího, když tento vztah se vyskytuje v jedné takové rovině R. 
Rovnici (8") lze uvésti se zřetelem k tomu, že 
na tvar 
1 cos 2 cp sin 2 cp 
y~y x y 2 
(D tg 3 cp + 3 C tg 2 cp + 3 B tg cp + A) 
_ í tg 3 <p tg <p \ h _ / tg 2 cp 1 \ 
V y 2 y x ) \ y 2 y 1 ) 
g = o. 
( 8 ') 
Z rovnice této jest patrno, že libovolná plocha oskulační H 2 má v bodě P 
tři tečny x, x', x" té vlastnosti, že každá rovina sečná každou z těchto 
tečen seče H 2 v kuželosečce mající s plochou S v bodě P styk řádu třetího. 
K těmže přímkám x, x', x" a k téže vlastnosti vede každá plocha, která 
jest k H 2 centricky kollinearná pro P jakožto střed a (x y) jakožto ro¬ 
vinu kollineace. 
V bodě N 
v němž seče z plochu H 2 , má tato rovinu tečnou 
l z = 2 (1 — g x — h y), 
IV. 
