2 
2. O pfaffianech platí následující poučky: 
a) Pfaffian (1, 2, 3, ... 2 n) jest lineární homogenní funkcí elementu 
kterékoliv řádky (sloupce) matice \\a ik \\ (i, k = 1 , 2, . . . 2 n). 
b) Záměnnou dvou indexů mění pfaffian znaménko. Neboť záměnou 
dvou indexů i v i 2> . . . i 2n mění se parita J. 
Jsou-li dva z indexů j v j 2 , . . . j 2n rovny , jest tedy hodnota pfafjianu 
rovna nule. 
Odtud pak vychází, je-li k v k 2 , ... k 2n libovolná permutace prvků 
1,2,3, . . . 2 n a K počet inversí v ní, že jest 
(M 2 ...£ 2 n) = (-l)Ml, 2, ... 2 n). 
c) Jelikož pro všechny eqvivalentní permutace má součin 
(— 1 ) J a iiÍ2 a Í3Íi . . . a i 2n _ { i 2n 
stejnou hodnotu, můžeme též psát i, že 
P=( 1,2, 
2 n) — 
1 
2 n . n\ 
> ^ ( 1 ^*6 Ú 
(2n)l 
• ^i i 
2n - 1 2 n 
(i) 
kde součet se vztahuje na všech (2w)! možných permutací indexů 1, 2, 
3, ... 2 n. 
3. Budte a lf a 2 , ... a 2v libovolných 2 v <2 n indexů vzatých z 1, 
2,3, ... 2» v libovolném pořádku. Označme 2Z = 2w-2v a ^ < p 2 
< . . . < 02 U budte ostatní z indexů 1, 2, ... 2 n, a ft, ^ 2 , ... 0 2 ;. bud 
libovolná permutace prvků q 2 , ... q 2Jí . Pak koeficient při a Ul ai a aa a4 
. . . a a a v rozvoji P = (1, 2, ... 2 w) rovná se 
2v—1 2t> 
^ (- 1• • • %_ 1 í 2 ,. 
kde J značí počet inversí v permutaci 
or 1 a 2 . . . a 2v p 2 . . . 0 2 a 
a součet se vztahuje na všech iV' = 1 .3.5...(2 A — 1) neequivalentních 
permutací /S, 0 2 . . . fi 2v prvků p,, p 2 , . . . (í 2 a- 
Je-li ^4 počet inversí v permutaci a, « 2 . . . « 2 „, .£> počet inversí 
v permutaci' /3, /3 a . . : ^ 2 n tu jest 
J — A + + «i + a 2 + . . . + a 2»- 
2v(2v + l) 
V 
rozvoji 
P : 
(1, 2, 
i 
ň • • • 
ŽV— 1 
a 2v 
( • 
- 1 ) A + 
+ Cti 
i + •■ 
+ U 2v 
~ v £{ 
N' 
(- 
1 + aj + 
2 w) rovná se tedy koeficient při 
2A —1 ^2A 
III. 
