5 
3. Obecný pohyb prostoru čtyřrozměrného s invariantním bodem 
(počátkem) jest vyjádřen, jak uvedeno, rovnicemi, jež obsahují 16 konstant 
c hh ; protože však při uvažované transformaci platí Z x k ' 2 = Z x k 2 , existuje 
mezi konstantami k řada relací, a to 4 rovnice 
cih 9 + c 2 k 2 + Psk 2 + cm 2 — 1 (pro k = 1, 2, 3, 4) a 6 rovnic 
Cih P\k ~b CzkPzk ~b P%k ~b CthCák ~ b (pro h, k = 1, 2, 3, 4, h =♦= k), 
všech 10 nezávislých. Jest tedy obecný pohyb prostoru čtyřrozměrného 
s invariantním bodem určen šesti (nezávislými) konstantami, a všechny 
tyto pohyby tvoří (kontinuitní) grupu transformací s oo 6 členy. 
Takovým obecným pohybem prostoru o čtyřech rozměrech jest rotace 
kolem bodu, jejíž rovnice v předešlém odstavci byly odvozeny a vypsány. 
Jako (nezávislé) konstanty rotace kolem bodu jsou tam čtyři ze šesti sou¬ 
řadnic a hk roviny q (nebo čtýři souřadnice roviny o absolutně kolmé k p) 
a dva úhly rotační cp, ty (úhly rotace kolem roviny q resp. a). 
Proti tomu speciální jest rotace prostoru čtyřrozměrného kolem 
roviny, určená pěti konstantami (čtyři a^k a úhel rotace cp) ; její rovnice 
obsaženy jsou v hořejších rovnicích rotace kolem bodu pro ty = 0 , jak 
hned zjistíme. 
Je-li rotace kolem bodu (nebo spec. rotace kolem roviny) dána čtyřmi 
rovnicemi pro x* s 16 konstantami c h k, můžeme ovšem určiti souřadnice a hk 
roviny q (a souřadnice b hk roviny a absolutně kolmé k p), jakož i úhly 
rotační cp a ty. 
Sečteme-li předně všechny koeficienty c hk pro h = 1 , 2 , 3, 4, dosta¬ 
neme, protože součet šesti Uhi? jest roven 1 , pro neznámé dva úhly cp a ty 
rovnici 
COS <p + COS ty = y ( C ll + C 22 + C 33 + c 44 ). 
Tato rovnice stačí v případě rotace kolem roviny ke stanovení jejího úhlu 
COS Cp = — (C 41 -f- C 22 -f- C 33 + c 44 ) — 1. 
Abychom nalezli druhou rovnici pro cp a ty, určíme napřed 
__ jchTt — c k h) sin cp — (dj — Cjj) sin ty 
ahk 2 (sin 2 ty — sin 2 cp) ’ 
kde ke dvojicím indexů 12, 13 , 14 pro hk příslušejí dvojice 34, 42, 23 pro 
i j. Z výrazů pro a hk utvoříme pak součet součinů a 12 a 3i -j- a 13 a i2 + <z 14 a.^, 
rovný — jak z dřívějšího známo — nule. 
Odtud obdržíme 
sin 2 cp -j- sin 2 ty 
sin <jp sin ty 
_ { C 12 g 2 l) 2 T ( g 13 C 3l) 2 ~b ( 6 14 C 4l) 2 T ( g 23 g 32) 2 ~ř ( g 34 C 4a ) 2 4~ (C 42 CqJ" 
( C 12 C 2l) ( C 34 C 43) “b (^13 bil) ( C 24 ^ 42 ) Í~ ( C 14 C 4l) ( C 23 ^ 32 ) 
XX. 
