4 
se S y podél C&, CV, C&» leží na téže přímce. Rovnice (8), (15) podávají ihned 
podmínky pro trilineární systém 
| x 2 , r, b — x 3 a' |=0, 
I * 2 , r., x u + x x v | = 0, 
kde levé strany jsou determinanty, v nichž pouze prvý řádek jest vypsán. 
K nim přistupuje nerovnost x x' x" j x 2 , x, 1 1 4= 0, která dovoluje prvou 
z těchto podmínek nahradí ti jednodušší podmínkou 
x x ' x" a' — b — 0. (16) 
Pro a' ~ b = 0 jest S y kvadrika 1 ) a rovnice (16) je splněna identicky. 
Tento případ vyloučíme. Pro a' = 0, b 4= 0 (i pro a! 4= 0, b = 0) je plocha Sz 
zborcená 2 ) a trilineární systémy neexistují. Můžeme tedy předpokládati 
a! b ±0. Rovnice (16) pak praví: Trojice tečen ke křivkám trilineárního 
systému v každém bodě plochy náleží (kubické) dvoj mocné involuci tečen 
apolárních s tečnami, konjugovánými s tečnami Darboux-Segreovými. 2 ) 
Neboť pro Darboux-Segreovy tečny jest 3 ) 
r 3 a' + b = 0. 
Dle podmínky (16) jsou x, x r , x" kořeny kubické rovnice 
T 3 -(- r T 2 + s T —Y = 0. 
(17) 
(18) 
Pro r, s obdržíme pak snadným výpočtem podmínku 
2 i (3 r t — s 2 ) r v . — 3 t (3 t + r s) (r u + s v ) ( _ b \ 
+ 2 t (3 s + T' 2 ) (Su + t v ) + (5 s 2 + 5 r 2 s — 6 r t) t u = 0 \ a' )* ^ ^ 
4. Podmínka (16) jest patrně splněna, jsou-li (C#), (C^), (C&") tři 
soustavy čar konjugo váných s čarami Darboux-Segreovými, neboť pak jest 
3/ b 
a' 
X = P, x' = CO P, x" = CO 2 P, p = Y 
Podmínka (15) jest v tomto případě 
05 “ — 03 
D 1, Pu + P Pv 
co 2 , (o, cj P u + a 2 P P v 
G), oj 2 , a 2 P u + co P P v 
1 = 0 . 
0 
| X 2 , X, x u + xx v | = P 3 
a je tudíž také splněna; máme tedy výsledek: Na každé nepřímkové ploše 
!) M lt str. 260. 
a ) Tato podmínka jest tedy, jak ukazuje snadná úvaha, pouhý korolár 
věty, kterou jsem odvodil v pojednání ,,0 křivkovém a plošném elementu třetího 
řádu projektivního prostoru" „Časopis", roč. 50, str. 219 a n., v částil I, odst. 7, 
vztahujeme-li ji na transformaci <£_ 3 . Viz též odst. 2. tamtéž; tam zmíněná invo- 
luce I 2 3 jest konjugovaná s naší involuci (16). 
3 ) M 5 , § 1, a M 2 , § 6, rovn. (99). Wilczynski užívá Darbouxova názvu 
tangentes á osculation quadrique. 
XXIII. 
