5 
tvoří čáry konjugované s čarami Darboux-Segreovými trilineární systém. 
Rovnice tří oskulačních rovin jsou v tomto případě dle (9) 
2 P 2 * 2 — 2 P x 3 + (P u + P P v ) x 4 = 0, 
2 a 2 P 2 x 2 - 2 aPx 3 + (o P u + íú 2 PP v ) x 4 = 0 , 
2 ca P 2 x 2 — 2 to 2 P x 3 + (co 2 P* + co P P„) % 4 = 0. 
Procházejí tedy vskutku touž přímkou l, jejíž rovnice jsou 
6 a' b x 2 + (a! b v — a' v b) x 4 , 6 a' b x 3 — (<ť b u — a' u b) x 4 = 0. (20) 
Stejně nalezneme z (15) pro přímku l', na níž leží tři body vratu, 
6 a* b í 3 — ( a ' b v — a' v b) = 0, 6 a' b £ 2 + («' 6) = 0. (21) 
Přímky l, V jsou ovšem reciproké poláry vzhledem k Licově kvadrice. 
Položme si otázku: Pro jaké plochy splynou naše přímky l, V s Wilczynského 
řídícími přímkami d, ď, t. j. s řídícími přímkami lineární kongruence 
společné oskulačním lineárním komplexům obou asymptotických čar 
v každém bodě P y ? Obdržíme podmínky 1 ) 
čili 
2 a' b v + a' v b = 2 a' u b + a' b u = 0, 
a 
d U 
a' 2 6 = 0. 
( 22 ) 
Avšak z toho plyne, 2 ) že lze substitucí u — a{u), v = (v) docíliti a' = b = 1. 
Diferenciální rovnice Darboux-Segreových čar jest potom du 3 -{-dv 3 = 0. 
Zadaná vlastnost jest tedy charakteristická pro plochy, vyšetřované Wilczyn- 
skim, 3 ) připouštějící grupu projektivních transformací o dvou parametrech. 
5. Z rovnic (15), (16) můžeme bez jakéhokoli počtu vyčisti větu: 
Nutná a postačující podmínka, aby v korespondenci mezi dvěma {nepřím- 
kovými) plochami S y , S v každému trilineárnímu systému na jedné příslušel 
trilineární systém na druhé, jest, aby si v této korespondenci odpovídaly 
Čáry Darboux-Segreovy [všech tří soustav ). Neboť především musí involuci (16) 
odpovídati analogická involuce tečen S v a tedy řečená podmínka jest 
nutná. Že však také stačí, vysvítá z fakta, že rovnice (15) neobsahuje ko¬ 
eficientů diferenciálního systému (1). Také platí: Jsou-li S y , S v tak na sebe 
zobrazeny, že si odpovídají křivky asymptotické (obou soustav) a jednomu 
trilineárnímu systému odpovídá stejný, pak každému trilineárnímu systému 
odpovídá trilineární systém. Jsou-li vůbec dvě plochy S y , S v na sebe zobra¬ 
zeny tak, že si odpovídají oboje čáry asymptotické a je-li S y dána sy¬ 
stémem (1), jest S v dána systémem téhož tvaru 
Vui* + 2 (3 rj v -f- qp r] — 0, . 
Vw + 2 «' Vu + yv = 0 : 
x ) Porovnáním naší rovnice (18) s rovnicemi (70*) v M 2 , str. 95. 
a ) M lt str. 250, rovn. (51) a (52). 
3 ) Wilczynski, On a certain set of self-projective surfaces, Trans. Amer. 
M. S., vol. 14, str. 421 — 443. 
XXIII. 
