4 
nebo podle syst. (8) 
— —b (k n ~' [ ) z n - 2 ■•{■••• + k z = 0, 
*-i = + z «-2 f L h k n ~ 3 h) - (h k -«)] iy, .... 
O X v 
(14) 
v kterýchžto dvou tvarech jsou v koefficientech pouze invarianty, tudíž: 
Rozvedeme-li koefficienty rovnice f jistým způsobem, lze je vyjádřili ve 
dvou tvarech pomocí invariantů rovnice f. 
Následkem toho dvě rovnice tvaru /, souhlasící v invariantech bud 
syst. (13) nebo syst. (14), nemohou se lišiti leč nejvýš substitucí z \ X z, 
což je věta obrácená k oné, jež uvedena začátkem tohoto §. Vyslovíme 
však tuto vlastnost všeobecněji ku konci § 6. 
Zbývá dokázat relaci (12). Předpokládáme-li, že platí pro řád n 
rovnice /, má platnost též pro řád n + 1. Neboť píšeme-li rovnici tvaru (1) 
řádu n + l h0 dle tvaru (2), možná v syst. tak vzniklém diff. výraz n ho ř. 
nahradit systémem (13), v němž však před každý invariant připíšeme 
úkon h na označení provedeného rozkladu rovnice řádu n -|- l ho dle (2); 
pak platí formule (12) při řádu rovnice n + 1 pro s = 2, 3, . . ., n i zbývá 
ÍHA 1 
určití pouze ———-. 
3 % 3 y 
Pišme za tím účelem rovnici n + l h0 ř. ve tvaru (8), při čemž první 
dvě rovnice tohoto syst. spojme v jednu, tedy 
Z n —| 
d X d y 1 
Z„-i = 
^IA X dz n 
c X 
d z n-2 
+ . Z n - X + ( k n J ) Z n - 2 + . . • + k Z — 0, 
dl A. 
c X 
d Z 
3 x 
dlA n 
3 x 
z: 
pak v tomto syst. u diff. výrazu 2 ho ř. 
3 2 z n —i 21 A± 3 z n —i 
dxdy d z 3 y 
invarianty h, k, jež nutno ovšem značití (k n ~ l h), (k n ), mají hodnotu 
kde bod značí koefficient u z n — : ; rozdíl těchto dvou rovnic dává relaci pro 
3 HA X 
3 x3 y 
, která souhlasí s formulí (12), jež tudíž tím dokázána též pro řád 
n + 1. Snadno se přesvědčíme o platnosti formule pro n = 2, platí tedy 
všeobecně. 
XXXI. 
