Při provádění úplné indukce mohli bychom ovšem též obráceně 
rovnici n + l ho ř. psát dle syst. (3) a v něm výraz n ho ř. rozložit dle (14) atd. 
4. Všech invariantů v syst. (13), (14) jest 3 w — 4, kdežto rovnice / 
ve tvaru normálním má koeficientů 2 w - 2. Ukážeme, že k vypsání syst. 
(13), (14), tedy k vyjádření koefficientú rovnice f ve tvaru normálním stačí 
udati tolik invariantů, kolik je koefficientú, tedy 2 n — 2. Jsou totiž některé 
invarianty v syst. (13), (14) stejné, některé lze vyjádřit pomocí jisté části 
ostatních. 
Za tím účelem syst. (7), jejž upravíme vzhledem k (10), pišme ve tvaru 
clA x 
c X 
z-i 4~ h z == 0, z í — 
-f [hk) z — 0, z 2 
n-3 
s-c 
c x 
2* +1 z 2 
cx* c y 
c l A 
c 
Z 
(a) 
a syst. (8) podobně redukovaný upravme na tvar 
o 
1 z ± + (k h) z 2 + h z = 0, 
o X 
°* + 1 Z 2 | Z 2 \ __ dz 
3 x*dy Sy>1 3 x* ) ’ Zž c x 
h = 
clAn-l 
( 6 ) 
koefficienty s k , i, s k , 0 jsou u diff. výrazů n — 2 ho ř. v (a) i v (b) stejné. 
Vyloučením z 1 z prvních dvou rovnic syst. (a) plyne 
• + • *2 + 
<“>-&+[ 
3 [hk) 3 1A j 
3 x n 2 3 y 
a týmž postupem ze syst. ( b) vznikne 
J ^ + ... + . H + { kk)JL + 
3 x 
3 x 
(h k) + h \ z = 0 
g|i,M 
3 x 
(k h) + k \ z = 0; 
poněvadž oba diff. výrazy n — l h0 ř. jsou v obou relacích totožné, ob¬ 
držíme porovnáním předposledních členů 
(h k) = (k h) (15) 
a porovnáním členů posledních s použitím formule (12) 
h — k = — UML +lhk)[ [(h n - 1 ) — (h n - 2 k)—(hk“-*) + (A*- 1 )] dy. (16) 
o X 
Vyšetříme nyní důsledek relací (15), (16). 
5. Především lze na základě (15) obdržeti theorém, odůvodňující 
název „invariantů", kteréžto pojmenování je podepřeno i jinými větami: 
Hodnoty [h s k l ) zůstávají vzhledem ke všem permutacím úkonů h, k 
invariantní}) 
1 ) Věta tato jakož i její důkaz platí analogicky u diff. rovnic lin. obyč. 
XXXI. 
