Poněvadž podle této věty platí na př. 
(h r k s ¥) = (h r + l k s ), 
lze každý invariant rovnice / co do hodnoty všeobecně označit 
{h s k l ); s, t = 0, 1, . . n — 1; + - 1. 
louž hodnotu jako invariant (h s k l ) má tedy celkem invariantů. 
Poznáme, že současně vyplyne, že diff. výrazy ř. n — s — t ho , vzniklé 
provedením úkonů h s k l jakkoli permutovaných, jsou totožné. 
Předpokládejme, že věta platí (i co do totožnosti vzniklých diíf. 
výrazů) o invariantech ř. s -f- t ho , dokážeme, že též má platnost pro řád 
invariantů s + t + 1; poněvadž má dle (15) platnost pro 2 hý ř. invariantů 
(podle (a), ( b ) i co se týče rovnosti příslušných diff. výrazů ř. n — l ho ), 
bude tím dokázána všeobecně. Rád invariantů s T t -J- 1 vznikne při¬ 
pojením bud úkonu h nebo úkonu k k s úkonům h a t úkonům k, při 
čemž s + t ^ n — 2; připojme na př. úkon h. Máme tedy dokázati, že 
{h s + 1 k i ) = (h s ^k l ), (c) 
při čemž pruh na pravé straně značiž libovolnou permutaci úkonů h, k. 
Invarianty (h s + 1 k l ) rozdělme na dvě části, z nichž první mějž na 
konci úkon k , je tedy o tvaru (h s + 1 k l ' l k), druhá nechť má na konci úkon h 
čili má tvar (h s k* h). Poznáme snadno, že platí 
(h s + 1 M) = {hr^ k 1 - 1 k), (h s k l h) = {FF h), {ii) 
takže zbude k důkazu relace (c) pouze odůvodniti rovnost 
(h s + 1#) = (h s k l h). (e) 
O platnosti relací ( d ) se přesvědčíme, vynecháme-li v první na konci 
obou stran úkon k , v druhé též na konci obou stran úkon h\ pak jsou 
relace platné dle předpokladu a vzniklé diff. výrazy jsou totožné rovněž 
dle předpokladu. Jestliže tedy u těchto diff. výrazů provedeme úkon k, 
obdržíme první relaci (d) a nově vzniklé diff. výrazy ř. n — s — t — l ho 
jsou samozřejmě stejné, provedením úkonu h vznikne druhá relace ( d) 
a vzniklé diff. výrazy jsou totožné. 
Relace ( e) plyne z této úvahy: Dle předpokladu platí 
( h s k l ) = ( h s W), s — 1 (17) 
pro každý řád rovnice, tedy též pro řád n — 1, takže relace platí u diff. 
výrazu ř. n — l ho v syst. (2). Tedy o celé rovnici (1), jak je vypsána 
v syst. (2), platí 
(h s + 1 ti) = (h hřk 1 ), 
v čemž je též relace (e) zahrnuta. Tím jest odůvodněn vztah ( c) a tedy 
dokázán celý theorém. 
XXXI. 
