5 
Při jediné neodvisle proměnné jest tato úloha tak jednoduchá, že 
zahrnuta byla do problému všeobecnějšího, v němž stanoveny byly rovnice 
s transformační řadou oboustranně zakončenou; tato řada v právo 
1 v levo uzavřená může se redukovati na jedinou rovnici /, jak právě 
žádá předložená úloha. U rovnic diff. lin. obyč. jsou takových rovnic 
možné 4 druhy; vždy se tu jedná o stanovení pouze jediné funkce ne¬ 
známé A, po případě B. 
Naproti tomu při dvou neodvisle proměnných nalézti rovnici / 
nemající transformační řady není úloha tak jednoduchá. Jedná se tu 
o stanovení n — 1 neznámých funkcí A 1 , A 2 . . . A n __j určených tím, že 
současně vymizejí invarianty ( h s ), ( k s ), s = 1, 2, . . ., n —. 1, čímž dáno 
2 n — 2 podmínek, tolik tedy, kolik má rovnice / v normálním tvaru 
koefficientů. Odtud již plyne, že rovnic f nemajících řady transformační (2) 
jest jediný druh. 
Předpokládejme nejdříve, že u rovnice / vymizejí současně invarianty 
.( k s ), s = 1, 2, n — 1, tedy, že platí podmínka 
k = (#>) = . . . = (k n ~ l ) = 0. 
( 10 ) 
Vzhledem k R. Č. A. XXX. č. 31. (8), (10), (11) lze rovnici / pak psát ve 
tvaru 
/ w = a ř‘.. 1 = o, z„ _, 
-2 — 
3 y 
%n — 3 i ^ ^2 
^ — 2 
d% 
d X 
o X 
3 ^ 
3^ 3M 
3 ^ + " 
(ii) 
d x 
a její všeobecné řešení lze snadno obdržet pouze pomocí kvadratur; veličiny 
A v A 2 . . . A n _ x lze zvolit i libovolně. 
Stanovme pro rovnici / další podmínku 
h = (/* 2 ) ==....= (/ř^- 1 ) = 0, (11) 
udávající patrně určité hodnoty pro dosud libovolné funkce A v A 2 ... A n _ v 
Abychom tyto hodnoty obdrželi, vyšetřeme nejprve výraz pro invari¬ 
anty ( h s ) za podmínky (10), což je možná, poněvadž mimo podmínku (10) 
předpokládáme za dané hodnoty A 1> A 2 ... A n _,, dáno tedy celkem 2n — 2 
veličin. 
5. Řešení této úlohy zjednoduší nám theorém: 
Platí-li podmínka {10), zůstává libovolný invariant [h s k l ) rovnice f 
nezměněn, snížíme-li současně řád rovnice f a řád úkonu k o týž obnos. 
Symbolicky možná tuto větu psát ve tvaru 
(h s #) w = {h s &-P) {n - p) , s* 0 (121 
jestliže řád n rovnice / připojený jako index v závorce a řád t úkonu k 
snížen o p jednotek. Dokážeme-li platnost formule (12) pro p = 1, platí 
patrně pro p libovolné. 
XXXII. 
