2 
rovnicí daného hyp. paraboloidu H. Postupujíce dle výše uvedeného vy¬ 
tvoření plochy, nalezneme její rovnici ve tvaru 
(1) 4 ( x 2 b 2 — a 2 y 2 ) 2 — 4 z a 2 b 2 (x 2 b 2 — a 2 y 2 ) — a 2 b 2 (y 2 a 4 + * 2 6 4 ) == 0. 
Z rovnice seznáváme, že uvažovaná plocha jest 4. řádu. Označme ji P 4, 
Tato jest souměrná ku rovinám (x z) a [y z). Zavedením homogenních 
% X % 
souřadnic x = —, y =? — , 2 = — obdržíme z rov. ( 1 ) pro = 0 : 
•^4 ^4 ^4 
(2) (x x b — x 2 a ) 2 {x x b + x 2 a) 2 — 0 . 
Z rovn. ( 2 ) soudíme, že plocha jest protnuta nekonečně vzdálenou rovinou 
ve dvou dvojných přímkách daných směrem rovin řídících paraboloidu H. 
Označme je u x a . Z vytvoření plochy P 4 plyne, že v každém bodu 
osy z protínají se dvě paraboly této plochy, pročež jest osa z další dvojnou 
přímkou plochy. 
Plocha P 4 obsahuje celkem tři dvojné přímky, protínající se v jediném 
bode, totiž v nekonečné vzdáleném bode Z^ osy z. Jest tudíž hledaná plocha 
plochou Steinerovou. 
Roviny tečné podél dvojné přímky z tvoří involuci, jejíž dvojné 
roviny jsout otožny s hlavními rovinami daného hyp. paraboloidu. Pří¬ 
slušné body kuspidální jsou tedy totožné s vrcholy V a V' oněch parabol 
plochy, jež obdržíme pošinutím hlavních parabol paraboloidu H. Z počtu 
dvojných bodů rovinných křivek 4. ř. plyne známá vlastnost Steinerovy 
plochy, že rovina tečná ji protíná ve dvou kuželosečkách. Roviny tečné 
plochy P 4 v bodech kuspidálních F a F' tvoří dva svazky rovin prochá¬ 
zejících vrcholovými tečnami v a. v' příslušných parabol plochy P 4 . Tudíž 
svazky rovin o osách v a v' protínají plochu v kuželosečkách. 
Otočíme-li všechny roviny jdoucí osou z i s příslušnými v nich ležícími 
parabolami plochy P 4 do roviny nárysné, obdržíme konfokální paraboly 
o společném ohnisku F na ose z. Vedeme-li bodem M osy z tečny ku těmto 
konfokálním parabolám, leží jich dotyčné body na kružnici k mající střed 
ve společném ohnisku F a procházející bodem M. Vzhledem ku této vlast¬ 
nosti konfokálních parabol platí: Křivka, dle níž dotýká se plochy P 4 
kužel mající vrchol na dvojné přímce z, leží na ploše kulové mající střed 
ve společném ohnisku F a procházející vrcholem kužele. Tato dotyčná 
křivka jest tudíž sférickou. 
O ploše Steinerově platí, že dotyčný kužel vedený k ní z bodu na 
ploše ležícího rozpadá se ve dva kužele 2 . st. *) Výše uvažovaná dotyčná 
křivka jest proto prostorovou křivkou 4. řádu a 1. druhu, neboť jest prú- 
sečnou křivkou plochy kulové s plochou kuželovou 2 . st. Označme ji k A . 
*) R. Sturm: Uber die rómische Fláche von Steiner. Mathem. Annalen B. 3. 
,, Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften B. IV. 
Salmon-Fiedler: Analytische Geometrie des Raumes II. Th. p. 375 
XXXIII. 
