3 
Stanovime-li známým způsobem rovnici tečného kužele ku ploše P 4 
z bodu M (0, 0, m) na ose z, obdržíme jeho rovnici ve tvaru: 
(3) 4 m (x 2 b 2 — y 2 a 2 ) -f- b 2 [z — m) 2 + x 2 & 4 + y 2 a x = 0. 
Stanovme prúsečnou křivku kužele s rovinami 
+ h 
y = -t- 
a 
Co průmět prúsečných křivek do roviny (x z) dostaneme po přetrans- 
formování výsledné rovnice do vrcholu M kužele co počátku 
/ x \ 2 
( 4 ) 
(V+( 
\ a 2 4 - b 2 ' 
) = » 
Poměr 
\ a 2 
fr 2 
značí cos a, je-li tg « = —. Násobíme-li jmenovatele 
prvého zlomku hodnotou sec « 
V tf 2 + Ů 2 
přejde nulová elipsa daná 
rovn. (4) v nulovou kružnici. Přicházíme ku zajímavému výsledku, že 
směr řídících rovin základního hyperbolického paraboloidu H čili směry , 
určující polohu v nekonečnu ležících dvojných přímek u^ a plochy P 4 , 
jsou směry cyklických rovin kuželů plose opsaných z bodů dvojné přímky z. 
Stanovíme-li průmět styčné křivky k 4 do roviny (xz), obdržíme po 
pošinutí počátku do bodu V (o, 0 , rovnici tohoto průmětu ve tvaru 
X 2 
z 2 
r a -(4 m — a 2 1 2 1 
1 4 m — a 2 l 2 
L 4 \ a 2 ~fb 2 1 
L 4 J 
Poměr poloos elipsy e dané rovnicí (5) jest a Jsou 
\ a 2 + b 2 
tudíž orthogonálné průměty křivek styčných plose P 4 opsaných kuželů z bodů 
dvojné přímky z do roviny (x z) elipsy homothetické vzhledem ku společnému 
jich středu V co do středu homothetie. 
Z rovnic (4) a (5) plyne přímo, že elipsy těmito rovnicemi určené 
jsou podobné. Jsou tudíž směry rovin určujících dvojné přímky u rJ , a v^ 
též směry cyklických rovin válce promítajícího křivku kč kolmo do roviny (x z). 
Uvedené výsledky vedou ku jednoduchému projektivnému vytvoření 
plochy P 4 . Styčné křivky k 4 kuželů opsaných ploše P 4 z bodů osy z leží 
jednak na souosých válcích homothetických, jež protnuty jsou rovinami 
a a d jdoucími osou z a přímkami u ^ resp. v^ v soustředných kružnicích 
o společném středu V a jednak na dříve odvozených plochách kulových, 
jež protnuty jsou rovinami a a v soustředných kružnicích o středu F. 
Sobě odpovídající kružnice válce a koule dotýkají se v témž bodě M na 
dvojné přímce z. Oba svazky kružnic jsou patrně projektivní a tedy 
i svazek uvedených souosých válců jest projektivní s odpovídajícím svazkem 
i* 
XXXIII. 
