2 
Funkčně theoretický důkaz této věty nevyskytuje se v literatuře, 
ač jej lze snadno podati. Uvažujme za tím účelem tři případy: 
1. Budiž dáno a v a 2 , a 3 ... . a P jednoduchých pólů 4 ) racionálně 
funkce a v bodě \ nechť má funkce racionálná nullový bod prvního řádu. 
Takovou funkci lze vyjádřit i tvarem: 
R = t*o + ^ r £+ ii, r £ + ... + p P r a y p (i) 
při čemž fi 0 , fij . . . \x P jsou konstanty a Cl a t. d. normální integrály 
druhého druhu s jednoduchými póly v bodech a v a 2> ... o P . Horní meze 
jsou libovolné konstantní hodnoty. Aby funkce R byla racionálnou funkcí, 
musí být splněn systém p rovnic: 
f^r x - Cl \ 1 , (dvť p \ 
{ tt J + * + •••+*"\ T- X - l; 
3 X 
i = 1, 2, 3 
( 2 ) 
P- 
Při tom znamená 
c-r-) 
a k 
derivaci i- ho integrálu prvního druhu 
v místě a k ý) 
Na základě tohoto systému rovnic redukuje se pak počet nezávislých 
konstant ve smyslu věty Riemann-Rochovy. K těmto p rovnicím při¬ 
stupuje ale jedna další , klademe-li pcdmínku, aby racionálná funkce měla 
v bodě b 1 jednoduchý nullový bod. Patrně nejprve: 
R — Pl Ra 
bu c 
i +p»JÍ"‘ , + 
+ t>p c 
c P _ 
a P 
0. 
(3) 
Racionálná funkce bude mít jistě ještě jiný bod nullový, dejme tomu 
v místě b 2 . I bude podobná rovnice, jako (3) platiti také pro bod b 2 . Ode¬ 
čtením těchto dvou rovnic získáme vztah: 
rl u bt + /i 2 5 * + ... 
[ip r b p = o. 
W 
Jelikož se ale integrály druhého druhu dají vyjádřiti jakožto derivace 
integrálů druhu třetího: 
rbi, 6j 
1 a k 
rnifr 
3 c b 
(• r >) 
k = 1, 2, 3 . . . P 
kde a znamená libovolné místo, můžeme, použivše věty o záměně para¬ 
metru a proměnné konečně psáti: 
r ( 3 
a * ~\dx 
_ k = 1, 2, 3 . . . P 
4 ) K vůli jednoduchosti v obyčejných bodech plochy. 
5 ) Kdyby některý z pólů byl řádu vyššího, budou se v rovnicích (2) vyskyto- 
vati též vyšší derivace; na důkazu to ničeho nemění. 
L. 
