ROČNÍK XXXI. 
TŘÍDA II. 
ČÍSLO 2. 
K dvěma důkazům věty Feuerbachovy. 
Napsal j. Sobotka. 
(S 2 obrazci v textu.) 
Předloženo 13. ledna 1922. 
1. Tak zvaná kružnice devíti bodů daného trojúhelníka má tu 
vlastnost, že se dotýká kružnic jemu vnitř i vně vepsaných. Věta tato 
sluje Feuerbachovou. W. Fiedler ve svém známém spise ,,Cyklographie“ 
zabývá se dosti obšírně větou tou a jejím prostorovým odvozením, ale 
k důkazu jejímu nedospěl, jak se o tom blíže též zmiňuje E. Muller. 1 ) 
Chci zde ukázati, že cyklographie i tu podává snadný a jednoduchý důkaz. 
Budiž (obr. 1.) A B C daný trojúhelník; k 0 budiž kružnice jemu vnitř 
vepsána a k v k 2 , k 3 budtež kružnice jemu vně vepsané, které se příslušně 
dotýkají stran B C, CA, A B a prodloužení stran ostatních. 
Orientujme kružnici k 0 kladně, ostatní kružnice uvedené záporně 
Takto orientované kružnice čili cykly jsou cyklickými průměty příslušných 
bodů K 0 ', K{, K 2 , K 3 , jejichž orthogonalné průměty do roviny ABC 
jsou středy K 0 , K lf K 2 , K 3 řečených kružnic. Hledejme nyní cykly, které 
se vždy tří z cyklů k 0 , k lf k 2 , k 3 dotýkají. K tomu cíli uvažujme rotační 
kužele K 0 = {K 0 ' k 0 ), K x = (K^ k ± ), K 2 = (K 2 k 2 ), K 3 == (K 3 ' k 3 ). Libovolné 
dva z kuželů těchto K,-, se protínají v konečnu v kuželosečce k t /, která 
do roviny ABC se promítá orthogonálně do kuželosečky k ť; -, jež jest 
místem středů cyklů, jež se dotýkají cyklů k it kj. Všecky cykly této vlast¬ 
nosti jsou vytvořeny cyklickým průmětem řady bodové na ki(. Budiž T* f 
rovina křivky Kužele K* vedou takto k šesti rovinám T ii} které tvoří 
úplný čtyřhran, v jehož hranách se roviny T ť / protínají po třech. Mají 
totiž roviny T 12 , T 23 , T 31 hranu h Q ', roviny T 02 , T 03 , T 23 hranu h{, roviny 
Tq 3 , T 01 , T 31 hranu h 2 a roviny T 01 , T 02 ,T 12 hranu h 3 společnou. Hrana h 0 ' 
spojuje ony dva body, jež jsou kuželům K r , K 2 , K 3 mimo kuželosečku 
v nekonečnu společný a cyklografické průměty .těchto bodů jsou cykly, 
x ) Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung. J. 1911 S. 1S8. 
Rozprava: Roč. XXXI. Tř. II. Čís. 2. \ 
II. 
