3 
k C, že kolmice t m z C na K 0 K s jest stopou roviny a že rovnoběžka t 03 * 
bodem C 0 k t 03 jest přímkou úběžnou této roviny. 
Z toho plyne, že stopníky přímek h 0 ', h /, h 2) h 3 jsou středy T 0 , T x , 
T 2 , T 3 kružnic vnitř a vně vepsaných trojúhelníku ABC, jehož vrcholy 
půlí strany daného trojúhelníka ABC. Vrcholy trojúhelníka, jehož strany 
procházejí body A 0 , B 0 , C 0 a jsou rovnoběžný k přímkám t QX , t 02 , t 03 , jsou 
úběžníky T x *, T 2 *, T 3 * přímek h x> h 2 , h 3 , kdežto bod výšek tohoto troj¬ 
úhelníka jest úběžníkem T 0 * přímky h 0 '. Stanoví tu útvary stopní a útvary 
úběžné dvě soustavy podobně položené; středem podobnosti jest průmět H* 
bodu H', v němž se tedy přímky TiT »* sbíhají. Kružnici (h) devíti bodů 
trojúhelníka daného A B C v soustavě prvé přísluší v soustavě druhé 
kružnice k 0 . Neboť (h) jest též kružnicí devíti bodů trojúhelníka T, T 2 T 3 ; 
jí přísluší v uvedené podobnosti kružnice devíti bodů trojúhelníka 
7\* T 2 *T ? *, a tou jest k 0 , jak patrno z toho že na př. přímky 3 , t * 2 pro¬ 
cházejí body C 0 , C 0 * na k 0 diametrálně protilehlými a proto se pro¬ 
tínají na k 0 . Označíme-il H střed kružnice (h), příslušejí v uvedené po¬ 
dobnosti přímkám HTi přímky K 0 Ti *; tyto přímky jsou orthogonálné 
průměty přímek bodem K 0 ' rovnoběžně k přímkám vedených; proto 
jsou přímky HTi orthogonálné průměty přímek h{ samých a bod H jest 
tudíž orthogonálným průmětem bodu H', z čehož plyne, že skutečně 
bod H' se promítá cyklograíicky do kružnice ( h ). 
Trojúhelníky A B C, A B C stanoví rovněž podobnou polohu v rovině 
pro poměr podobnosti 2 a střed podobnosti ve společném těžišti jejich. 
Z toho plyne, když kružnici k opsanou trojúhelníku ABC stejně orientujeme 
s k v k 2 a k s a značíce bod, jejímž jest cyklografickým průmětem K' , že 
K' K 0 tl K, K' K x || h lt K' K 2 II h z a K' I < 3 li h 3 . 
2 . Kružnice k opsaná trojúhelníku ABC prochází patami výšek 
v trojúhelníku K X K 2 K S ; ona půlí tedy jeho strany K } v bodech Kij. 
Kružnice nad průměrem K x K z prochází body A, B\ jest tedy přímka A B 
její přímkou potenční s kružnicí k, pročež jest bod Z 12 , v němž K X K 2 
přímku A B protíná středem involuce bodové na K x K 2 , dané dvojicemi 
K x K 2 a C K 12 . Involuce ta se promítá na A B v involuci C x C 2 . CH.. , kde 
značí H y patu výšky v trojúhelníku ABC spuštěné z bodu C. Tato in¬ 
voluce má svůj střed rovněž v bodě ^'12* 
Body C, H y prochází kružnice ( h) a body C x> C 2 proložme kružnici c x , 
která má C 3 C 2 za průměr; pak kružnice k í2 , která má střed v Z 12 a pro¬ 
tíná c 12 orthogonálné, protíná též (h) orthogonálné a vytíná z A B dvojné 
prvky posledně uvedené involuce. Kružnice k 12 jest tudíž potenční kružnicí 
cyklů k x , k 2 . Tím poznáváme, že kružnice (h) seče k 12 orthogonálné. 
Stejným způsobem poznáváme, že involuce C 0 C 3 .CFL, má za 
střed V 03 střed podobnosti cyklů k 0 , k 3 . Jelikož tato involuce jest elliptická, 
jest kružnice k 03 středu V^, jež protíná % a ( h ) orthogonálné imaginárná 
a jest zastoupena kružnicí £ 0;i * soustřednou, již protínají kružnice % a (h) 
l* 
II. 
