5 
Leží tedy body K{ na pravoúhlém rotačním kuželi, jehož vrchol jest H' 
a jehož osa jest kolmá k M. 
3. Že se kružnice ( h ) dotýká kružnic k t (i = 0 , ... 3) odvodil Feuer¬ 
bach pomocí úvah trigonometrických. Ukažme, jak pomocí známých 
vzorců trigonometrických můžeme dospěti snadně k cíli. 
Budiž V bod výšek v trojúhelníku ABC a V a bod půlící (obr. 2 .) 
úsečku A V. Vektory KA&V a Vsz sobe rovnají, a jelikož 
K A = R cos A, ( 1 ) 
když značí R poloměr kružnice k, proto 
A V = 2 R cos A, B V — 2 R cos B, C V = 2 R cos C. ( 2 ) 
Dále jest, značíme-li n poloměry kružnic k i} 
r o = 
(3') 
když značí J obsah trojúhelníka ABC, a, b, c délky jeho stran a 
2s = a + J + c. Obdržíme tu 
r 2 
ab c sin A 
2 (s — b) (s — c) 
a sin A 
2 sin 2 
2 R sin 2 A 
1 — cos A 
= 2R (1 + cos A), 
takže 
r 2 -f r 3 = 2 R (1 + cos A), r x — r 0 — 2 R (1 — cos A ); (3) 
obdobné výrazy obdržíme pro r s + r lt r x + r 2 , r 2 — r 0 a r 3 — r 0 . 
Je-li A" bod na k diametrálně protilehlý k bodu A a A' druhý prů¬ 
sečík přímky A V s k, jest A" A' II B C a proto AB = <£ C A A". 
Následkem toho jest <C V A K = A + 2 B — %, ať již jest B úhel ostrý 
nebo tupý anebo pravý; plyne tudíž z trojúhelníka KV A, klademe-li 
V K = 2 e se zřetelem na ( 1 ) 
4 e 2 = R 2 + 4 R 2 cos 2 A + 4 R 2 cos A cos {A + 2 B) 
= R 2 + 4 R 2 cos 2 A + 2 R 2 [cos 2 (A + B) + cos 2 B], 
takže 
4 e 2 = 3 R 2 + 2 2Č 2 (cos 2 ^4 + cos 2 B + cos 2 C). 
Ze známé relace 
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C — % cos A cos B cos C) (4) 
pro úhly v trojúhelníku plyne 
1 -f cos 2 ^4 + cos 2 J5 4- cos 2 C == — ^ cos A cos B cos C. 
Jest tudíž 
čili 
4 e 2 — R 2 (1 — 8 cos A cos B cos C), 
e 2 = r 2 (1 — 8 cos A cos B cos C), 
( 5 ) 
II. 
