10 
průměty bodů, jež následkem rovnic (7) budou ležeti na rotačním para¬ 
boloidu 
x 2 + y 2 = 4 r (z + r) (11) 
a následkem rovnice (9) na ploše 
(x - 2 č) 2 + y 2 - 2 2 2 = 2 (č 2 - r 2 ). (12) 
Sečtením obou rovnic obdržíme kužel 
[x - e) 2 + y 2 - (z + r) 2 = 0. (13) 
Když rovnici (11) násobíme 2 a pak od ní odečteme rovnici (13), 
obdržíme rovnici 
(x + e) 2 + y 2 -f (z - 3 r) 2 - 2 (e 2 + 8 r 2 ) = 0, (14) 
která vyjadřuje plochu kulovou. Odečtením rovnic (11) a (13) dospějeme 
k válci 
(z — r) 2 = — 2 e (% -1-' (15) 
Všecky tyto plochy tvoří svazek o základní křivce sférické (s) čtvrtého 
řádu. Rovnice jejího průmětu orthogonálného 5 do (x y) plyne z (11) 
a (13) vyloučením (z + r) ve tvaru 
(x 2 + y 2 ) 2 - 16 r 2 [{x - e) 2 + y 2 ] = 0. (16) 
Křivka ta má tedy body kruhové v nekonečnu za body vratu a 
bod H za ohnisko. 
Kružnici h lze považovat i za kružnici vrcholovou kuželosečky v, 
která má K a V za ohniska. Pak jest trojúhelník ABC kuželosečce v opsán 
a kružnici k vepsán. Proto lze sestrojit i nekonečné množství trojúhelníků, 
které jsou v opsány a k vepsány. Poněvadž pro všecky tyto trojúhelníky 
AxB^Cx jest (h) kružnicí devíti bodů, plyne, že pro ně plochy (11), . . . 
(15) se též nemění; pročež středy kružnic všem trojúhelníkům AxB^C a 
vnitř i vně vepsaných popisují cyklickou křivku (16). Vzhledem na (4) 
a (5 r ) mají všecky tyto trojúhelníky tu vlastnost, že pro ně má součin 
cos Ax cos Bx cos Cx a součet a } 2 + bx 2 + Cx 2 stálou hodnotu; všecky troj¬ 
úhelníky tyto mají bod V za bod výšek. 
7. Přihlížejme ještě k trojicím bodů utvořeným ze středu K 0 , K lf K 2> 
K 3 . Každá z nich tvoří trojúhelník, pro nějž zbývající bod jest jeho bodem 
výšek. Kružnice l 0 , l { , l 2 , l 3 opsané trojúhelníkům K x K. 2 K 3 , K 2 K Z K 0> 
Kg K 0 K 1} K 0 K x K 2 mají vesměs poloměry rovné 4 r; neboť kružnice k 
jest jejich společnou kružnicí devíti bodů. Vytkněme si jednu z nich, na př. l 0 
Kružnice ta jest průmětem orthogonálným do uvažované roviny M křivky 
(/ 0 ), v níž rovina Ký K 2 ' K z ' protíná paraboloid rotační (11), který má 
kružnici k za stopu do roviny M. Jest tedy stopa s 0 této roviny přímkou 
potenční kružnic k a l 0 . Jelikož rovina K/ K 2 K 3 ' spojuje vrcholy kuželů 
(Kj' k x ), (K 2 ^ 2 ), (K 3 ' k 3 ), proto jest s 0 osou podobnosti cyklů k lt k 2 , k 3 . 
II. 
