2 
děného vztahu jest přímka G 1 K i kolmá k přímce G 2 Kí. Tyto přímky 
směrují zároveň k bodům v nekonečnu křivky h, takže tato jest rovno- 
ramennou hyperbolou, čímž uvedená věta jest dokázána. 
2. Uvažujme rovinu trojúhelníka ABC jakožto průmětnu, středy 
K v K 2 , K 3 , K 0 kružnic k v k 2 , k 3 , k 3 jemu vepsaných za orthogonalné prů¬ 
měty čtyř bodů (K x ), (if 2 ), {K 3 ), ( K 0 ), jejichž vzdálenost od průmětny 
rovná se příslušným poloměrům r v r 2 , r 3> r 0 těchto kružnic, při čemž body 
(K t ), (K 2 ), (K 3 ) odpovídající středům kružnic vně vepsaných nechť leží 
na jedné straně průmětny, kdežto bod (K 0 ) odpovídající středu K 0 kružnice 
vnitř vepsané nechť leží na její straně druhé. Kružnice ty orientujme tak, 
aby byly cyklografickými obrazy bodů (K>), {i = 1, 2, 3, 0). Hledejme nyní 
cykly, které se takto stanovených cyklů dotýkají. 
Rotační kužele opírající se na př. o k 2 a k 3 , mající vrcholy v bodech 
(K 2 ) a ( K 3 ) protínají se v konečnu v kuželosečce, jejíž rovina P 23 má za 
stopu do průmětny přímku potenční p 23 kružnic k 2 , k 3 a prochází bodem 
{K 23 ), který půlí úsečku (K 2 ) ( K 3 ). Obdobně rotační kužele opírající se 
o k 3 , k x a mající vrcholy v bodech ( K 3 ), (K x ) protínají se v kuželosečce, jejíž 
rovina P 31 má za stopu do průmětny přímku potenční p 31 kružnic k 3 , k x 
a prochází bodem {K 31 ), který půlí úsečku ( K 3 ) (K x ). Roviny P 23 , P 31 pro¬ 
tínají se v přímce (p 0 ), obsahující společné body obou kuželoseček, kteréžto 
body mají za orthogonálný průmět středy cyklů, jež se prve na k v k 2 , k 3 
vytčených cyklů dotýkají. 
Budtež A 0 , B 0 , C 0 body půlící strany B C,C A, A B trojúhelníka ABC ; 
body ty půlí též vzdálenost bodů dotyku párů kružnic k 2 , k 3 , pokud se 
týče k 3 , k x a k v k 2 s přímkami B C, CA, A B. Procházejí tudíž přímky 
potenční p 2 z> P 31 , P\z těchto párů rovněž body A 0 , B 0 , C 0 a půlí úhly v troj¬ 
úhelníku A 0 B 0 C 0 . Jest tudíž střed potenční P 0 kružnic k v k 2 , k 3 středem 
kružnice vnitř vepsané trojúhelníku AqB 3 C 3 . Přímka (/> 0 ) prochází bodem 
P 0 . Ona protíná přímku A 0 (K 23 ) obsaženou v rovině P 23 , přímku B 0 ( K 31 ) 
obsaženou v rovině P 31 a rovněž i přímku C 0 (K 12 ), na níž leží bod K 12 
půlící úsečku (K x ) (K 2 ), a která jest obsažena v rovině P 12 kuželosečky 
společné kuželům (K x ) k v (K 2 ) k 2 . 
Proto přímky A 0 (K 23 ), B 0 (K 31 ), C 0 (K 12 ) stanoví hyperboloid H 0 , na 
němž leží přímka ( p 0 ) a přímka kolmá k průmětně, procházející středem K 
kružnice k opsané trojúhelníku ABC. Stopa s plochy H 0 jest opsaná 
trojúhelníku A 3 B 0 C 0 , prochází jeho bodem výšek K, jest tedy rovno- 
ramenou hyperbolou, a jelikož prochází též středem P 0 kružnice troj¬ 
úhelníku A 0 B 0 C 0 vepsané, má v bodě tom za tečnu přímku P 0 Q směřující 
k středu Q kružnice q trojúhelníku A 0 B 0 C 0 opsané, t. j. kružnice devíti 
bodů pro trojúhelník ABC. 
Budiž dále ( K) bod, jenž se promítá orthogonálně do bodu K , cyklo- 
graficky do kružnice k a leží vzhledem ke ( K 0 ) na opačné straně prů¬ 
mětny. Rovina P 23 spojuje p^ s přímkou A 0 (K 23 ). Jelikož tato má 
VII. 
