5 
Všecky kružnice v rovině M, k nimž jest daná kružnice k 2 v poloze 
Ponceletově, můžeme proto považovati jakožto cyklografické obrazy 
bodů dvojdílného rotačního hyperboloidu H dotýkajícího se roviny M 
v bodě K 2 , jehož osa prochází bodem K 2 a jest kolmá k M. Zvolíme-li osu 
tuto za osu z a K 2 za počátek pravoúhlé soustavv souřadné, jest rovnice 
hyperboloidu toho 
x 2 + y 2 — (z ± r 2 ) 2 + r 2 2 = 0. 
Je-li dána kružnice k t a centrála K x K 2 , a sestrojíme-li libovolnou 
kružnici l y která se dotýká kružnice k ± a přímky K t K 2 , této v bodě K 2 , 
pak kružnice k 2 středu K 2 , rovné kružnici l, jest jednou z kružnic v Pon¬ 
celetově poloze ke k v Jest patrno, že místem středů kružnic l jest para¬ 
bola mající K x za ohnisko, kolmici v K x ku K x K 2 za osu a r ± za parametr. 
Z toho plyne, že souhrn kružnic k 2 , které jsou k druhé kružnici k x v poloze 
Ponceletově, jest cyklografickým zobrazením na rovinu M bodů rotačního 
paraboloidu, který má své ohnisko v K x a prochází kružnicí k v Volíme-li 
osu jeho za osu z a K± za počátek pravoúhlé soustavy, bude rovnice jeho 
x 2 -j- y 2 — 2 r ± z r-f = 0. 
5. Uvažujme opět jako v či. 3. rovnoramennou hyperbolu h a kruž¬ 
nici k poloměru r, která má svůj střed na ní a prochází jejím středem O. 
Osy této hyperboly protnou k ještě v bodech L , L' ležících na průměru 
kružnice této kolmém k tečně t hyperboly h v bodě K; neboť kolmice h 
libovolnému průměru rovnoramenné hyperboly a průměr k tomuto sdru¬ 
žený Ježí antiparallelně vzhledem k jejím osám. 
Budiž dále ABC libovolný trojúhelník opsaný kružnici k a vepsaný 
hyperbole h. Opišme trojúhelníku tomu kružnici k', jejíž střed označíme K '. 
Rovnoramenná hyperbola opsaná trojúhelníku ABC a procházející 
středem K kružnice vepsané k má za tečnu v K přímku K K'. Ježto tato 
hyperbola má s h body A, B y C, K a bod výšek H v trojúhelníku ABC 
společné, splývá s ní. Leží proto střed K' na tečně t. Z toho plyne, že všecky 
kružnice k’ , které opíšeme trojúhelníkům ABC , jež jsou h vepsány a k 
opsány, mají své středy na tečně t, a k jest ke všem v poloze Ponceletově. 
Opíšeme-li tedy cyklus l kolem jednoho z bodů L, L', řekněme L, jakožto 
středu procházející bodem K , budou všecky kružnice k f vyjádřeny cykly 
o společné centrále t dotýkajícími se cyklu l a budou cyklografickými 
obrazy bodů na hyperbole rovnoramenné (u), jejíž poloosa má délku r. 
Sklopme její rovinu do roviny M. Budiž u poloha, do níž při sklopení tom 
přechází křivka (u). Křivky h a u jsou v poloze affinní, majíce t za osu 
a jednu neb druhou osu hyperboly h za směr affinity podle toho, v kterém 
smyslu uvedené sklopení provedeme. V poloze té příslušejí úsečkám kolmým 
k í v soustavě křivky u úsečky stejně dlouhé a rovnoběžné s KO v sou¬ 
stavě křivky h. Proto poloměru K' D' kružnice k' kolmému k t, jehož 
Vil. 
