6 
koncový bod D' leží na u, přísluší na h bod D, pro nějž K' D || K O 
a K' D = K' D'. Jest tedy D průsečíkem kružnice k' s hyperbolou h. 
Jest patrno, že každá kružnice k' mající střed K' na t a dotýkající 
se kružnice l seče h ve čtyřech bodech, z nichž tři tvoří trojúhelník opsaný 
kružnici k. Neboť jeden z těch průsečíků leží na rovnoběžce bodem K' 
k přímce KO. Budiž A další z nich; jím prochází mimo k' ještě jedna 
kružnice k", která má střed na t a dotýká se l. Kružnicí tou může býti 
jenom kružnice, která má svůj střed v bodě, v němž rovnoběžka bodem A 
ke K O vedená protíná t. Vepíšeme-li totiž hyperbole h trojúhelník, jenž 
jest k opsán a jehož jeden vrchol jest A, tu víme, že kružnice jemu opsaná 
musí se l dotýkati; trojúhelník ten musí tudíž býti vepsán bud kružnicí k r 
nebo k" ; avšak bod A na kružnici k " jest různý od jejich bodů průsečných 
s h , jež mohou přináležeti trojúhelníku h vepsanému a k opsanému. 
Každý bod na t jest středem dvou kružnic k'. Splývá-li bod ten s K,. 
jest poloměr jedné z nich k 0 ' roven 2 r; příslušný trojúhelník ABC jest 
proto rovnostranný. Platí tedy věta: 
,,Kružnice, které mají středy K na rovnoramenné hyperbole a jejichž 
poloměry rovnají se průměrům hyperboly procházejícím jejích středy K 
protínají hyperbolu tu ještě ve vrcholích rovnostranných trojúhelníků/* 
Druhá kružnice k' středu K degeneruje v isotropické přímky. Tyto 
protínají h v dvojných bodech E v E 2 involuce, v níž jest hyperbola ta 
proťata involucí pravých úhlů kolem K. Jsou tudíž E v E 2 koncové body 
průměru v h sdruženého ke směru normály L L'. Průměr ten jest kolmý 
k průměru KO ; splývá proto s tečnou o kružnice k v bodě O. Jest ná¬ 
sledkem toho trojúhelník KE 1 E 2 též jedním z trojúhelníků ABC. 
Vrcholy trojúhelníků ABC tvoří na hyperbole h kubickou involuci J 3 
a příslušné body D řadu bodovou k ní promětnou; neboť každé trojici 
bodů ABC j est j ednoznačně přiřaděn bod D a naopak, j ak z konstrukcí 
naších patrno. 
6 . Přiřaďme vrcholům každého z uvažovaných trojúhelníků ABC 
jeho bod výšek H. Seznáme, že řada [H] bodů H na h jest rovněž pro- 
mětná s kubickou involucí J 3 . Každé trojici ABC v J 3 přísluší v [H] 
určitý bod H jednoznačně. Půjde o to dokázati, že také naopak libovolný 
bod H na h jest bodem výšek jednoho a jen jednoho trojúhelníku ABC 
kružnici k opsaného a hyperbole h vepsaného. Hledme tedy k bodu H 
sestrojiti příslušný trojúhelník ABC. Involuce J 3 vztahuje k a h k sobě 
promětně tím, že libovolné tečně q křivky k přidružíme na h onen bod Q, 
v němž se protínají další tečny ke křivce k z bodů, v nichž q seče h 
a naopak. 
Páry rovnoběžných tečen q, q' ke k tvoří involuci na k a páry Q Q r 
příslušných bodů Q tvoří involuci na h. Splynou-li q, q' s tečnami, jež 
jsme dříve (čl. 3) označili A 0 B 0 a A° B°, pak splynou body Q, Q' s ne¬ 
konečně vzdálenými body na Ji. Proto budou spojnice (Q Q') párů Q Q' 
tvořiti svazek přímek rovnoběžných. Splynou-li q, q' s tečnami rovnoběž- 
VII. 
