7 
nými k asymptotám a 2 , a v splynou body Q, Q' s A 0 , B 0 , resp. A°, B°. 
Proto jest ( Q Q') || A 0 B 0 . Jsou tudíž přímky (Q Q') rovnoběžné k normále 
L L' bodu K a následkem toho jsou sdruženy k průměru o hyperboly h, 
jenž se dotýká kružnice k. 
Spustíme-li k tečnám q, q ' kolmici s z bodu H, obdržíme svazek 
přímek [s] promětný s involucí [« qq ']. Svazek řečený protne h v řadě (S) 
bodové promětné k involuci [Q Q f ) ; tehdy a jen tehdy, když bod 5 řady (S) 
splyne s jedním bodem Q příslušného páru involuce \_Q Q'], jest bod tento 
vrcholem jednoho z trojúhelníků ABC, jehož vrcholy tvoří trojici v J 3 . 
Svazek [s] jest také promětný ke svazku [Q] přímek Q Q' , spojujících 
příslušné páry involuce [ Q Q'] a vytvoří s ním kuželosečku u. Přímce 
nekonečně vzdálené ve svazku [Q] přísluší v [s] přímka kolmá k A 0 B 0 
a A° B°, tedy přímka rovnoběžná s t, z čehož plyne, že u jest taktéž ro no- 
ramenná hyperbola, jejíž asymptoty jsou rovnoběžný k II' a t. Kuželo¬ 
sečka u seče h v bodě H a ve třech dalších bodech A*, B*, C* té vlastnosti, 
že spojnice libovolného z nich na př. bodu A* s bodem H jest kolmá 
k přímce q a spojující body B, C, v nichž tečny z A* ke k vedené protínají 
ještě hyperbolu h. Trojúhelníky A*B*C*, A* B C mají tudíž společnou 
výšku A* H a ježto tato seče obě hyperboly h, u v témže bodě H, jest 
tento společným bodem výšek obou trojúhelníků. Přímce H B v [s] přísluší 
tudíž v [q q'] pár, jemuž náleží A* C a přímce H C pár, jemuž náleží A* B. 
Proto musí body B, C splynouti s B*, resp. C*. Jest tudíž bodu H jedno¬ 
značně přiřaděna trojice A* B* C* v involuci J 3 . 
Jelikož obě řady bodů D a bodů H jsou promětný k involuci J 3 , 
proto jsou také mezi sebou promětný. 
Seznáváme dále, že poslední promětnost jest involucí. 
Pro trojúhelník A 0 B 0 C 0 , v němž C 0 jest jeden bod v nekonečnu 
na h, degeneruje k’ v přímku A^B Q a v nekonečně vzdálenou přímku 
roviny M, jest tedy příslušný bod D druhý bod C° v nekonečnu na h. Bod 
ten jest též bodem výšek v A 0 B 0 C 0 . Tím jest patrno, že promětné řady 
bodů D a H mají C 0 , C° za samodružné elementy. Opíšeme-li kolem bodu K 
jako středu kružnici k', jejíž poloměr rovná se 2 r, pak jest, jak víme, 
příslušný trojúhelník ABC rovnostranný, jeho bod výšek splyne s K 
a příslušný bod D na k , označme jej D 0 , jest bod na h diametrálně proti¬ 
lehlý k bodu K. Invariant promětnosti jest roven dvoj poměru (C 0 C° D 0 K), 
kterýžto dvoj poměr má zde hodnotu — 1. Tvoří proto řady bodů D a H 
skutečně involuci o dvojných bodech C 0 , C°, mající střed O za pol, pročež 
jsou libovolné dva sobě příslušné bodyD 0 a H na h diametrálně protilehlé. 
Že si body D 0 a K přísluší v uvažované promětnosti involutorně, 
jest také patrno z toho, že bod D 0 jest bodem výšek trojúhelníka K E t E 2 , 
kružnice jemu opsaná se skládá z isotropických přímek bodem K vede¬ 
ných, a čtvrtý její průsečík s h splývá s bodem K. 
V promětnosti svazků [s] a [Q] přísluší paprsku s 0 svazku prvého 
rovnoběžnému k přímkám svazku druhého v tomto svazku druhém 
VII. 
